天津市蓟州等部分区2018-2019学年高三上学期文数期末联考试卷

试卷更新日期：2019-02-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $P = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $Q = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $P \cap^{} (C_{U} Q) =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 ， \\ x - y - 1 \leq 0 ， \\ x - 3 y + 3 \geq 0. \end{matrix}$ 则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、7 D、8

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3. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 $S$ 的值为（）

A、8 B、4 C、 D、

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4. 已知 $a = {log}_{π} 3 ， b = 2^{\frac{1}{3}} ， c = ln \frac{1}{3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $θ \in R$ ，则“ $s i n θ = \frac{1}{2}$ ”是“ $θ = \frac{π}{6}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在 $Δ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点， $A B = 2 ， A C = \sqrt{7}$ ，则 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 C、3 D、

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7. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，为了得到函数 $g (x) = sin ω x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象上所有点（）

A、向右平移个单位长度 B、向左平移个单位长度 C、向右平移个单位长度 D、向左平移个单位长度

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与该双曲线的左支交于 $A ， B$ 两点， $A F_{2} ， B F_{2}$ 分别交 $y$ 轴于 $P ， Q$ 两点，若 $Δ P Q F_{2}$ 的周长为12，则当 $a b^{2}$ 取得最大值时，该双曲线的渐近线方程为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1 - 2 i}{1 + i} =$ ．

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{x}$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (1) =$ ．

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11. 已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为．

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12. 已知直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 相交于 $A ， B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点P坐标为 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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13. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，若 $x + y \geq m^{2} + m + 3$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 4 x + a ， x < 1 ， \\ l n x + 1 ， x \geq 1 \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 3$ 恰有两个互异的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

15. 为维护交通秩序，防范电动自行车被盗，天津市公安局决定，开展二轮电动自行车免费登记、上牌照工作.电动自行车牌照分免费和收费(安装防盗装置)两大类，群众可以自愿选择安装.已知甲、乙、丙三个不同类型小区的人数分别为15000，15000，20000.交管部门为了解社区居民意愿，现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行电话访谈.
（Ⅰ）应从甲小区和丙小区的居民中分别抽取多少人?

（Ⅱ）设从甲小区抽取的居民为 $A_{i} (i = 1, 2, 3, \dots)$ ，丙小区抽取的居民为 $B_{i} (i = 1, 2, 3, \dots)$ .现从甲小区和丙小区已抽取的居民中随机抽取2人接受问卷调查.

（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ⅱ）设 $M$ 为事件“抽取的2人来自不同的小区”，求事件 $M$ 发生的概率.

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16. 在 $△ B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 $\sqrt{3} b cos C = c sin B$ ．
$($ 1 $)$ 求角C的大小

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $Δ A D P$ 为等边三角形.

（Ⅰ）求证： $A D ⊥ P B$ ；

（Ⅱ）若 $A B = 2 ， B P = \sqrt{6}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 2, b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 7$ ， $a_{3} + b_{3} = 13$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = a ln x + x^{2}$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \leq x^{2} + x - 1$ ；

（Ⅲ）求证：对任意正整数 $n$ ，都有 $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) \dots (1 + \frac{1}{2^{n}}) < e$ (其中 $e \approx 2.7183$ 为自然对数的底数).

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的左焦点， $T$ 为直线 $x = - 6$ 上任意一点，过点 $F$ 作 $T F$ 的垂线交 $C$ 于两点 $P, Q$ .
（ⅰ）证明: $O T$ 平分线段 $P Q$ (其中 $O$ 为坐标原点)；

（ⅱ）当 $\frac{| T F |}{| P Q |}$ 取最小值时，求点 $T$ 的坐标.

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