2017年江西省鹰潭市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-18 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知（ $\sqrt{3}$ +i）•z=﹣i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、是正确的

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3. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2），向量 $\vec{b}$ =（3，﹣4），则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、﹣2 B、﹣1 C、0 D、2

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4. 下列说法正确的是（）

A、若命题p：∃x₀∈R，x₀²﹣x₀+1＜0，则￢p：∀x∉R，x²﹣x+1≥0 B、已知相关变量（x，y）满足回归方程 $\overset{⌢}{y}$ =2﹣4x，若变量x增加一个单位，则y平均增加4个单位 C、命题“若圆C：（x﹣m+1）²+（y﹣m）²=1与两坐标轴都有公共点，则实数m∈[0，1]为真命题 D、已知随机变量X～N（2，σ²），若P（X＜a）=0.32，则P（X＞4﹣a）=0.68

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5. （1﹣2x）（1﹣x）⁵的展开式中x³的系数为（）

A、10 B、﹣10 C、﹣20 D、﹣30

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6. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）

A、4 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、2

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7. 《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）

A、 $\frac{8}{29}$ 尺 B、 $\frac{16}{29}$ 尺 C、 $\frac{32}{29}$ 尺 D、 $\frac{1}{2}$ 尺

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8. 要得到函数y=sin（2x+ $\frac{π}{6}$ ）的图象，只需将y=cos（2x﹣ $\frac{π}{6}$ ）图象上的所有点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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9. 过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l，与该抛物线及其准线从上向下依次交于A，B，C三点，若|BC|=3|BF|，且|AF|=3，则该抛物线的标准方程是（）

A、y²=2x B、y²=3x C、y²=4x D、y²=6x

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10. 已知等差数列{a_n}的公差d≠0，S_n为其前n项和，若a₂ ， a₃ ， a₆成等比数列，且a₁₀=﹣17，则 $\frac{S_{n}}{2^{n}}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{5}{8}$ C、 $- \frac{3}{8}$ D、 $- \frac{15}{32}$

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11. 已知函数f（n）=n²cos（nπ），且a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=（）

A、0 B、﹣100 C、100 D、10200

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12. 函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且满足xf′（x）+2f（x）＞0，则不等式 $\frac{(x + 2016) f (x + 2016)}{5} < \frac{5 f (5)}{x + 2016}$ 的解集为（）

A、{x＞﹣2011} B、{x|x＜﹣2011} C、{x|﹣2011＜x＜0} D、{x|﹣2016＜x＜﹣2011}

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二、填空题

13. 已知曲线f（x）=2x²+1在点M（x₀ ， y₀）处的瞬时变化率为﹣8，则点M的坐标为．

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14. 设P为双曲线 $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{25}$ =1右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为．

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15. 用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有种不同的涂色方法．

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16. 圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为

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三、解答题

17. 已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n ，且 $\sqrt{S_{n}}$ 是1与a_n的等差中项．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{ $\frac{2}{a_{n} a_{a + 1}}$ }的前n项和，证明： $\frac{2}{3}$ ＜T_n＜1（n∈N^*）

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18. 第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．
第30届伦敦
第29届北京
第28届雅典
第27届悉尼
第26届亚特兰大
中国
38
51
32
28
16
俄罗斯
24
23
27
32
26
（Ⅰ）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；
（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为 $\frac{4}{5}$ ，丙猜中国代表团的概率为 $\frac{3}{5}$ ，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．

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19. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，CD₁的中点，AA₁=AD=1，AB=2．

(1)、求证：EF∥平面BCC₁B₁；

(2)、求证：平面CD₁E⊥平面D₁DE；

(3)、在线段CD₁上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣DE﹣D₁为45°，若存在，求 $\frac{| D_{1} Q |}{| D_{1} C |}$ 的值，不存在，说明理由．

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20. 如图，设椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C₂：y²=8x的焦点F重合，且椭圆C₁的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C₁的标准方程；

(2)、过F作直线l交抛物线C₂于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C₁于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．

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21. 已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²（f'（x）+ $\frac{m}{2}$ ）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证： $\frac{\ln 2}{2}$ × $\frac{\ln 3}{3}$ × $\frac{\ln 4}{4}$ ×…× $\frac{\ln n}{n}$ ＜ $\frac{1}{n}$ （n≥2，n∈N^*）．

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{matrix}$ （α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$ ）=2 $\sqrt{2}$ ．

(1)、写出C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；

(2)、设点P在C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

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23. [选修4-5：不等式选讲]

已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

(1)、当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；

(2)、设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

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	第30届伦敦	第29届北京	第28届雅典	第27届悉尼	第26届亚特兰大
中国	38	51	32	28	16
俄罗斯	24	23	27	32	26