2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-18 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={y|y=2x﹣3，x∈A}，则A∩B=（）

A、{﹣1，0，1} B、{﹣1，1} C、{﹣1，1，2} D、{0，1，2}

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2. 已知复数z₁=3+4i，z₂=t﹣i，且z₁• $\bar{z_{2}}$ 是实数，则实数t=（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、﹣ $\frac{4}{3}$ D、﹣ $\frac{3}{4}$

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3. 若 $\vec{a}$ =（cos20°，sin20°）， $\vec{b}$ =（cos10°，sin190°），则 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、cos10° D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 已知命题p：存在向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，使得 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =| $\vec{a}$ |•| $\vec{b}$ |，命题q：对任意的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ = $\vec{a}$ • $\vec{c}$ ，则 $\vec{b}$ = $\vec{c}$ ．则下列判断正确的是（）

A、命题p∨q是假命题 B、命题p∧q是真命题 C、命题p∨（￢q）是假命题 D、命题p∧（￢q）是真命题

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5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）

A、66 B、33 C、16 D、8

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6. 如果实数x、y满足条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ y + 1 \geq 0 \\ x + y + 1 \leq 0 \end{matrix}$ ，那么2x﹣y的最大值为（）

A、2 B、1 C、﹣2 D、﹣3

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7. 在同一坐标系中，曲线y=（ $\frac{1}{3}$ ）^x与抛物线y²=x的交点横坐标所在区间为（）

A、（0， $\frac{1}{3}$ ） B、（ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ） C、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ） D、（ $\frac{2}{3}$ ，1）

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8. 在（ $\sqrt{x}$ ﹣1）⁴•（x﹣1）²的展开式中，x项的系数为（）

A、﹣4 B、﹣2 C、2 D、4

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9.
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、1 C、2 D、 $\frac{4 π}{3}$

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10. 已知正数a，b满足a+b=4，则曲线f（x）=lnx+ $\frac{x}{b}$ 在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）

A、[ $\frac{π}{4}$ ，+∞） B、[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{5 π}{12}$ ） C、[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ） D、[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{3}$ ）

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11. 已知曲线 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{2}$ =1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A（0， $\sqrt{2}$ ），则△APF周长的最小值为（）

A、4（1+ $\sqrt{2}$ ） B、4+ $\sqrt{2}$ C、2（ $\sqrt{2}$ + $^{x_{2}}$ ） D、 $^{x_{2}}$ +3 $\sqrt{2}$

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12. 已知函数f（x）=|sinx|（x∈[﹣π，π]），g（x）=x﹣2sinx（x∈[﹣π，π]），设方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的实根的个数分别为m，n，t，则m+n+t=（）

A、9 B、13 C、17 D、21

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二、填空题

13. 已知函数f（x）=ax³+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）= ．

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14. 连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），那么点P在圆x²+y²=17内部（不包括边界）的概率是．

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15. 已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O﹣ABC的体积为40 $\sqrt{3}$ ，则该球的表面积等于．

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16. 在△ABC中，∠B= $\frac{π}{6}$ ，AC=1，点D在边AB上，且DA=DC，BD=1，则∠DCA= ．

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三、解答题

17. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S₄=4S₂ ， a_2n=2a_n₊₁﹣3．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=3﹣ $\frac{2 n + 3}{2^{n}}$ ，求{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁ ， AB₁∩A₁B=E，D为AC上的点，B₁C∥平面A₁BD．

(1)、求证：BD⊥平面A₁ACC₁；

(2)、若AB=1，且AC•AD=1，求二面角B﹣A₁D﹣B₁的余弦值．

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19. 某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．

(1)、请把频率直方图补充完整；

(2)、该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？

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20. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|=3，且△ABC的周长为14．

(1)、求椭圆的离心率；

(2)、过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ= $\frac{| M P |}{| P N |}$ = $\frac{| M Q |}{| Q N |}$ ，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=（x﹣2）e^x+ax（a∈R）

(1)、试确定函数f（x）的零点个数；

(2)、设x₁ ， x₂是函数f（x）的两个零点，当x₁+x₂≤2时，求a的取值范围．

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22. （选做题）[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + 2 \cos θ \\ y = 1 + 2 \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．

(1)、求曲线C的极坐标方程；

(2)、若直线l：θ=α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．

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23. [不等式选讲]

设函数f（x）=a（x﹣1）．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；
（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证： $| f (x^{2}) + x | \leq \frac{5}{4}$ ．

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