2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-17 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）

A、{x|x≥0} B、{x|x≤1} C、 ${x | 0 < x \leq \frac{1}{2}}$ D、{x|0≤x＜ $\frac{1}{2}$ }

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2. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x + y \leq 6 \\ x - y \leq 2 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x+y的最大值是（）

A、4 B、6 C、10 D、12

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3. 直线 $ρ \cos θ = \frac{1}{2}$ 被圆ρ=1所截得的弦长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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4. 设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N^*）次多项式a_nxⁿ+a_n_﹣1xⁿ^﹣1+…+a₁x+a₀ ，当x=x₀时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=（（a₃x+a₂）x+a₁）x+a₀ ，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．

A、x⁴+x³+2x²+3x+4 B、x⁴+2x³+3x²+4x+5 C、x³+x²+2x+3 D、x³+2x²+3x+4

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6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A、 $2 + \sqrt{5}$ B、 $2 + 2 \sqrt{5}$ C、 $4 + \sqrt{5}$ D、5

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7. 如图，在矩形ABCD中，AB= $\sqrt{2}$ ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A F} = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值是（）

A、2﹣ $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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二、填空题

9. 若复数 $\frac{a + i}{1 - i}$ 是纯虚数，则实数a的值为

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10. 在数列{a_n}中，a₁=1，a_n•a_n₊₁=﹣2（n=1，2，3，…），那么a₈等于．

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11. 若抛物线y²=2px的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣y²=1的右顶点重合，则p= ．

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12. 如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=

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13. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）

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14. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} 2 a - (x + \frac{4}{x}) ， x < a \\ x - \frac{4}{x} ， x \geq a \end{matrix}$ ．
①当a=1时，f（x）=3，则x=；
②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a= ．

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三、解答题

15. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c²=a²+b²﹣ab．

（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．

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16. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：
（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，试比较 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小（只需写出结论）；
（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．

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17. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅲ）已知AD=2， $C D = \sqrt{2}$ ，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．

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18. 已知函数f（x）=1nx．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当x＞0时， $f (x) \geq 1 - \frac{1}{x}$ ；
（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．

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19. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y= $\frac{1}{2} x$ +m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

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20. 已知集合R_n={X|X=（x₁ ， x₂ ， …，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a₁ ， a₂ ， …，a_n）∈R_n ， B=（b₁ ， b₂ ， …，b_n）∈R_n ，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a₁﹣b₁|+|a₂﹣b₂|+…|a_n﹣b_n|= $\sum_{i = 1}^{n} | a_{i} - b_{i} |$ ．

（Ⅰ）写出R₂中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R₃ ，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；
（Ⅲ）设集合P⊆R_n ， P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为 $\bar{d} (P)$ ，证明 $\bar{d} (P) \leq \frac{m n}{2 (m - 1)}$ ．

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