2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-17 类型：高考模拟

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一、选择题

1. i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（）

A、1 B、﹣1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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2. 已知A=[1，+∞）， $B = {x \in R | \frac{1}{2} \leq x \leq 2 a - 1}$ ，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）

A、[1，+∞） B、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ C、 $[\frac{2}{3} ， + \infty]$ D、（1，+∞）

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3. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 2 \\ x + y \leq 4 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）

A、﹣1 B、1 C、3 D、7

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4. 若输入n=4，执行如图所示的程序框图，输出的s=（）

A、10 B、16 C、20 D、35

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5. 若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为 $\sqrt{3}$ ，则此双曲线的渐近线方程为（）

A、y=±x B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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6. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S₃=6，S₆=3，则S₁₀=（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、0 C、﹣10 D、﹣15

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7. 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{28}{3}$ B、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ C、28 D、 $22 + 6 \sqrt{3}$

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8. 对函数f（x），如果存在x₀≠0使得f（x₀）=﹣f（﹣x₀），则称（x₀ ， f（x₀））与（﹣x₀ ， f（﹣x₀））为函数图象的一组奇对称点．若f（x）=e^x﹣a（e为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，1） B、（1，+∞） C、（e，+∞） D、[1，+∞）

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9. 若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、1条或2条

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10. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ=（）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{18}{5}$ D、4

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11. 锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若 $a = \sqrt{3}$ ，则b²+c²的取值范围是（）

A、（5，6] B、（3，5） C、（3，6] D、[5，6]

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12. 已知函数f（x）=xlnx﹣ae^x（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、（0，e） C、 $(\frac{1}{e} ， e)$ D、（﹣∞，e）

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二、填空题

13. 等比数列{a_n}满足a_n＞0，且a₂a₈=4，则log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a₉= ．

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14. 不共线向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

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15. 在 ${(x - \frac{1}{x} - 1)}^{4}$ 的展开式中，常数项为．

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16. 已知关于x的方程（t+1）cosx﹣tsinx=t+2在（0，π）上有实根．则实数t的最大值是．

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三、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (\sin x ， \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x ， - \cos x)$ ，函数f（x）= $\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若方程f（x）= $\frac{1}{3}$ 在（0，π）上的解为x₁ ， x₂ ，求cos（x₁﹣x₂）的值．

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18. 某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．

（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；
（Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？

选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生

女生

合计

附： $K^{2} = \frac{n {(a b - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d．
P（K²≥k₀）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K₀
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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19. 如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上．
（Ⅰ）求证：BP⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

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20.
如图，抛物线E：y²=2px（p＞0）与圆O：x²+y²=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x₀ ， y₀）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l₁ ， l₂ ， l₁与l₂相交于点M．

（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．

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21. 已知f（x）=ln（x+m）﹣mx．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m＞1，x₁ ， x₂为函数f（x）的两个零点，求证：x₁+x₂＜0．

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．

(1)、求出圆C的直角坐标方程；

(2)、已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y=2x关于点M（0，m）（m≠0）对称的直线为l'．若直线l'上存在点P使得∠APB=90°，求实数m的最大值．

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23. [选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - | a x - 2 |} (a \neq 0)$ ．

(1)、求函数f（x）的定义域；

(2)、若当x∈[0，1]时，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

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	选择自然科学类	选择社会科学类	合计
男生
女生
合计

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828