浙江省重点中学2018-2019学年高三数学12月期末热身联考试卷

试卷更新日期：2019-02-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知M＝｛x｜x＞1｝，N＝｛x｜x²－2x－8≤0｝，则 $M \cap^{} N$ ＝（）

A、［－4,2） B、（1,4］ C、（1，＋∞） D、（4，＋∞）

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2. 已知i为虚数单位，复数 $z = \frac{- 1 + 2 i}{i}$ ，则 $| z |$ ＝（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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3. 已知双曲 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - x^{2} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、

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4. 已知 $α ⊥ β ， m \subset α ， n \subset β ， α \cap^{} β = l$ ，则“m⊥n”是“m⊥l”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $y = \frac{x^{2} sin x}{e^{| x |}}$ 的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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6. ${(\frac{2}{\sqrt{x}} - 1)}^{5}$ 展开式中， $\frac{1}{x^{2}}$ 的系数是（）

A、80 B、－80 C、40 D、－40

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7. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \end{matrix}$ ，则z＝x+4y的取值范围是（）

A、［－6，4］ B、［2，4］ C、［2，+∞） D、［4，+∞）

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8. 已知函数 $f (x) = | \frac{1}{2} - 4 sin x cos x |$ ，若 $f (x - a) = - f (x + a)$ 恒成立，则实数a的最小正值为（）

A、2 B、 C、 D、

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9. 已知方程 $\frac{| cos x |}{x} = k (k > 0)$ 有且仅有两个不同的实数解 $θ ， φ (θ > φ)$ ，则以下有关两根关系的结论正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD、PC翻折至A、B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A（B）－PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP所成角为60º，则点Q运动的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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二、填空题

11. 已知随机变量的 $ξ$ 的分布列为：

若E（ $ξ$ ）＝ $\frac{1}{3}$ ，则x+y＝；D（ $ξ$ ）＝

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12. 若 $2^{a} = 3^{b}$ ＝6，则 $4^{- a}$ ＝； $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ＝

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13. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是；表面积是

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14. 已知直线 $l ： m x - y = 1$ ．若直线 $l$ 与直线 $x - m y - 1 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为；动直线 $l$ 被圆 $x^{2} + 2 x + y^{2} - 24 = 0$ 截得弦长的最小值为．

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15. 向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足：｜ $\overset{⇀}{a}$ ｜＝2，｜ $\overset{⇀}{a}$ + $\overset{⇀}{b}$ ｜＝1，则 $\overset{⇀}{a}$ $\cdot \overset{⇀}{b}$ 的最大值为

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16. 如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有种。

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17. 平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知底面四边形ABCD为矩形，∠A₁AB＝∠A₁AD＝ $\frac{π}{3}$ 。其中｜AB｜＝a，｜AD｜＝b，｜AA₁｜＝c，体对角线｜A₁C｜＝1，则c的最大值为

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三、解答题

18. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足： $a sin B - \sqrt{3} b cos A = 0, a = 4$ 。

(1)、求∠A。

(2)、若D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积。

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19. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠B是直角，平面ABEF⊥平面ABC，2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60º，AF∥BE。

(1)、求证：BC⊥BF；

(2)、求直线BF与平面CEF所成角的正弦值。

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20. 已知数列｛ $a_{n}$ ｝满足： $2^{n - 1} a_{1} + 2^{n - 2} a_{2} + \dots + 2 a_{n - 1} + a_{n} = n$ ， $n \in N *$ 。

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ 及数列｛ $a_{n}$ ｝的通项公式；

(2)、若数列｛ $b_{n}$ ｝满足： $b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{n + 1} - b_{n}}{a_{n}} = 2^{n}$ ，求数列｛ $b_{n}$ ｝的通项公式。

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2 $\sqrt{2}$ 。

(1)、求椭圆的方程；

(2)、如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为 $\sqrt{5}$ ，求直线l的方程。

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22. 已知 $a > 0$ ， $f (x) = ln (2 x + 1) + 2 a x - 4 a e^{x} + 4$ 。

(1)、当 $a = 1$ 时，求f（x）的最大值。

(2)、若函数f（x）的零点个数为2个，求 $a$ 的取值范围。

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