浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2019-02-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - 2 x > 0}$ ， $B = {x} - 3 < x < 3}$ ，则（）

A、 B、 C、 D、

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2. 点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，则 $| F_{1} F_{2} | =$ （）

A、 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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3. 复数 $z_{1} = 2 - i$ ， $z_{2} = 3 + i$ ，则 $| z_{1} \cdot z_{2} | =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、 $5 \sqrt{2}$

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4. 某几何体的三视图如图所示（图中单位： $c m$ ），则该几何体的表面积为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $m ∥$ 平面 $β$ ，则“ $α ∥ β$ ”是“ $l ⊥ m$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为 $ξ$ ，则 $E (ξ)$ 为（）

A、1.2 B、1.5 C、1.8 D、2

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7. 函数 $f (x) = ln \frac{x}{8 - x}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{c}$ 和 $\overset{⇀}{d}$ 为空间中的4个单位向量，且 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c} = 0$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{d} | + | \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{d} | + | \overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{d} |$ 不可能等于（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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9. 正三棱锥 $P - A B C$ 的底面边长为 $1 c m$ ，高为 $h c m$ ，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为 $θ$ ，则在 $h$ 从小到大的变化过程中， $θ$ 的变化情况是（）

A、一直增大 B、一直减小 C、先增大后减小 D、先减小后增大

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10. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{2018}$ 的值所在区间为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为元．

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12. ${(1 - 2 x)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为；所有项的系数和为．

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13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 1 ， \\ x + 2 y \leq 2 ， \\ x \leq 1 ， \end{matrix}$ 则目标函数 $Z = 2 x + 3 y$ 的最小值为；最大值为．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ 和 $C$ 所对的边长为 $a$ ， $b$ 和 $c$ ，面积为 $\frac{1}{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，且 $∠ C$ 为钝角，则 $tan B =$ ； $\frac{c}{a}$ 的取值范围是．

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15. 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）

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16. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：当 $x > 0$ 时有 $f (x + 4) = \frac{1}{3} f (x)$ ，且当 $0 \leq x \leq 4$ 时， $f (x) = 3 | x - 3 |$ ，若方程 $f (x) - m x = 0$ 恰有三个实根，则 $m$ 的取值范围是．

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17. 过点 $P (1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于点 $A$ 和 $B$ ，且 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{P B}$ .点 $Q$ 满足 $\overset{⇀}{A Q} = - λ \overset{⇀}{Q B}$ ，若 $O$ 为坐标原点，则 $| O Q |$ 的最小值为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + \sqrt{3} sin x sin (x + \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{2}{3} π]$ 上的取值范围.

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19. 在三棱拄 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥$ 侧面 $B B_{1} C_{1} C$ ，已知 $B C = 1$ ， $∠ B C C_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A B = C_{1} C = 2$ .

（Ⅰ）求证： $C_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

（Ⅱ）试在棱 $C_{1} C$ (不包含端点 $C ， C_{1}$ )上确定一点 $E$ 的位置，使得 $E A ⊥ E B_{1}$ ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求 $A E$ 和平面 $A B C$ 所成角正弦值的大小.

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20. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n + 1}^{a_{n}}$ ，求数列 ${{log}_{3} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知抛物线 $E$ ： $y = a x^{2} (a > 0)$ 内有一点 $P (1 ， 3)$ ，过 $P$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与抛物线 $E$ 交于 $A$ ， $C$ 和 $B$ ， $D$ 两点，且满足 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{P C}$ ， $\overset{⇀}{B P} = λ \overset{⇀}{P D} (λ > 0 ， λ \neq 1)$ ，已知线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，直线 $A B$ 的斜率为 $k$ .

(1)、求证：点 $M$ 的横坐标为定值；

(2)、如果 $k = 2$ ，点 $M$ 的纵坐标小于3，求 $Δ P A B$ 的面积的最大值.

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22. 函数 $f (x) = \sqrt[n]{x} (n - ln x)$ ，其中 $n \in N^{*}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、若 $n$ 为定值，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、求证：对任意 $m \in N^{*}$ ，有 $ln 1 + ln 2 + ln 3 + \dots ln (m + 1)$ $> 2 {(\sqrt{m + 1} - 1)}^{2}$ ；

(3)、若 $n = 2$ ， $ln a \geq 1$ ，求证：对任意 $k > 0$ ，直线 $y = - k x + a$ 与曲线 $y = f (x)$ 有唯一公共点.

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