甘肃省张掖市2018-2019学年高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2019-02-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | y = ln (- x^{2} + 9)}$ ， $B = {y | y = 2^{x}}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、 $(0, 3)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(z + 3) (1 - i) = 6 - 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $sin α + cos α = - \frac{7}{5}$ ， $sin α - cos α = \frac{1}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）

A、2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B、2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高 C、从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D、从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长

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5. $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 ${(sin B + sin C)}^{2} - {sin}^{2} (B + C) = 3 sin B sin C$ ，且 $a = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的面积的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6. 已知单位向量 $\overset{⇀}{e_{1}} ， \overset{⇀}{e_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $tan θ = 2 \sqrt{2}$ ，若向量 $\overset{⇀}{m} = 2 \overset{⇀}{e_{1}} - 3 \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $| \overset{⇀}{m} | =$ （）

A、9 B、10 C、3 D、

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7. 为了得到 $y = - 2 cos 2 x$ 的图像，只需把函数 $y = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ 的图像（）

A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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8. 已知抛物线 $C_{1} ： x^{2} = 2 p y (y > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ ，抛物线 $C_{2} ： y^{2} = (4 p + 2) x$ 的焦点为 $F_{2}$ ，点 $P (x_{0} ， \frac{1}{2})$ 在 $C_{1}$ 上，且 $| P F_{1} | = \frac{3}{4}$ ，则直线 $F_{1} F_{2}$ 的斜率为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图， $B$ 是 $A C$ 上一点，分别以 $A B ， B C ， A C$ 为直径作半圆，从 $B$ 作 $B D ⊥ A C$ ，与半圆相交于 $D$ ， $A C = 6$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）

A、 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 D、 $2 \sqrt{2}$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线的左、右焦点，点 $M (- a ， 0)$ ， $N (0 ， b)$ ，点 $P$ 为线段 $M N$ 上的动点，当 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}}$ 取得最小值和最大值时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，则 $\frac{S_{2}}{S_{1}} =$ （）

A、4 B、8 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4 $\sqrt{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a ln x + 3$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [4 ， + \infty)$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ）， $\exists a \in [2 ， 3]$ ， $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} < 2 m$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 在 ${(x + \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中，含 $x^{- 2}$ 的项的系数是．

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的最小值为．

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15. 已知 $f (x) ， g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，且 $g (0) = 0$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) - g (x) =$ $x^{2} + 2^{x} + 2 x + b$ （ $b$ 为常数），则 $f (- 1) + g (- 1) =$ ．

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16. 三棱锥 $P - A B C$ 的每个顶点都在球 $O$ 的表面上， $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ， $P A ⊥ A B$ ， $P A = 2$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $\frac{1}{7} S_{7}$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{8}$ 的等比中项，且 $\sqrt{3 a_{2}}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{3}$ 的等比中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} S_{n} + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 某理财公司有两种理财产品 $A$ 和 $B$ ，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品 $A$

投资结果

获利20%

获利10%

不赔不赚

亏损10%

概率

0.2

0.3

0.2

0.3

产品 $B$ （其中 $p ， q > 0$ ）

投资结果

获利30%

不赔不赚

亏损20%

概率

$p$

0.1

$q$

(1)、已知甲、乙两人分别选择了产品 $A$ 和产品 $B$ 进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于0.7，求 $p$ 的取值范围；

(2)、丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，在产品 $A$ 和产品 $B$ 之中选其一，应选用哪种产品？

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19. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $S A ⊥ B C$ ， $S C ⊥ A C$ ， $S C = 6$ ， $M ， N$ 分别为线段 $A B ， B C$ 上的点，且 $C M = M N = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 3 B N = 6$ .

(1)、证明： $M N ⊥ S M$ ；

(2)、求二面角 $A - S M - N$ 的余弦值.

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20. 已知F为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，点 $P (2 ， 3)$ 在C上，且 $P F ⊥ x 轴$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过F的直线 $l$ 交C于A，B两点，交直线 $x = 8$ 于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} a x^{2} (a > 0)$ .

(1)、若函数 $h (x) = \frac{f (x) \cdot e^{x}}{x}$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若过点 $(a ， b)$ 可作曲线 $f (x)$ 的三条切线，证明： $- \frac{5}{8} a^{3} < b < f (a)$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 5 c o s α \\ y = 5 + 5 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）．M是曲线 $C_{1}$ 上的动点，将线段OM绕O点顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段ON，设点N的轨迹为曲线 $C_{2}$ ．以坐标原点O为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、在（1）的条件下，若射线 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 分别交于A， B两点（除极点外），且有定点 $T (4 ， 0)$ ，求 $Δ T A B$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + m | - | 2 x - 2 m | (x > 0)$

(1)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求不等式 $f (x) \geq \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、对于任意的实数 $x$ ，存在实数 $t$ ，使得不等式 $f (x) + | t - 3 | < | t + 4 |$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围。

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投资结果	获利20%	获利10%	不赔不赚	亏损10%
概率	0.2	0.3	0.2	0.3

投资结果	获利30%	不赔不赚	亏损20%
概率	$p$	0.1	$q$