2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-17 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）

A、2 B、3 C、5 D、7

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2. 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 下列各数中，最小的数是（）

A、75 B、111111_（₂_） C、210_（₆_） D、85_（₉_）

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4. 设命题p：﹣1＜log $_{\frac{1}{2}}$ x＜0，q：2^x＞1，则p是q成立的是（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若椭圆 $\frac{y^{2}}{4}$ + $\frac{x^{2}}{3}$ =1的两个焦点F₁ ， F₂ ， M是椭圆上一点，且|MF₁|﹣|MF₂|=1，则△MF₁F₂是（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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6. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（　　）

A、7 B、9 C、10 D、15

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7. 已知点P在以F₁ ， F₂为焦点的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）上，若 $\vec{P F_{1}}$ • $\vec{P F_{2}}$ =0，tan∠PF₁F₂= $\frac{1}{2}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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8. 下列命题的说法错误的是（）

A、命题“若x²﹣3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x²﹣3x+2≠0”． B、“x=1”是“x²﹣3x+2=0”的充分必要条件． C、命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤ $\sqrt{2}$ ”是真命题 D、若￢（p∧q）为真命题，则p、q至少有一个为假命题．

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9. 已知袋子中装有3个红球、2个白球、1个黑球，如果从中随机任取2个，则下列两个事件中是互斥而不对立的是（）

A、至少有一个白球；都是白球 B、至少有一个白球；至少有一个红球 C、至少有一个白球；红球、黑球各一个 D、恰有一个白球；白球、黑球各一个

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10. AB为过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（）

A、bc B、ac C、ab D、b²

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11. 若直线mx+ny=4和⊙O：x²+y²=4没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4}$ =1的交点个数为（）

A、0个 B、1个 C、至多1个 D、2个

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12. 已知Ω={（x，y）| ${\begin{matrix} y \geq 0 \\ y \leq \sqrt{4 - x^{2}} \end{matrix}$ }，直线y=mx+2m和曲线y= $\sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[ $\frac{π - 2}{2 π}$ ，1]，则实数m的取值范围（）

A、[ $\frac{1}{2}$ ，1] B、[0， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ] C、[ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，1] D、[0，1]

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二、填空题

13. 命题“∀x∈R，|x﹣2|＜3”的否定是．

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14. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4}$ =1的焦距为2，则m的值等于．

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15. 从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个集合，则这个集合是集合{c，d，e}的真子集的概率是．

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16. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 两焦点为F₁ ， F₂ ，若椭圆上存在点P，使得PF₁⊥PF₂ ，则椭圆离心率的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知命题p：方程 $\frac{x^{2}}{m - 2} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1$ 表示焦点在y轴的椭圆；命题q：关于x的不等式x²﹣2x+m＞0的解集是R；
若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数m的取值范围．

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18. 某市环保局空气质量监控过程中，每隔x天作为一个统计周期．最近x天统计数据如表
空气污染指数
（单位：μg/m³）
[0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200]
天数
15
40
35
y
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）为了创生态城市，该市提出要保证每个统计周期“空气污染指数大于150μg/m³的天数占比不超过15%，平均空气污染指数小于100μg/m³”，请问该统计周期有没有达到预期目标．

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19. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若经过左焦点F₁且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．

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20. 已知点A（﹣ $\sqrt{2}$ ，0），B（ $\sqrt{2}$ ，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣ $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．

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21. 已知关于x的二次函数f（x）=ax²﹣4bx+1

（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={﹣1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（a，b）是区域 ${\begin{matrix} x + y - 8 \leq 0 \\ x > 0 \\ y > 0 \end{matrix}$ 内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

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22. 已知椭圆C方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0），左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ，若椭圆C上的点P（1， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）到F₁ ， F₂的距离和等于4．
（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F₁Q中点T的轨迹方程；
（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k0的取值范围．

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