浙江省宁波市九校联考2017-2018学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2^{a}}$ ， $B = {a ， b}$ ，若 $A \cap B = {\frac{1}{2}}$ ，则 $A \cup B$ 为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=3，| $\vec{b}$ |=2 $\sqrt{3}$ ，且 $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{a} + \vec{b}$ ），则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 C、 D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 已知A是△ABC的内角且sinA+2cosA=-1，则tanA=（）

A、 B、 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 若当 $a > 0$ 时，函数 $f (x) = a^{| x |}$ 始终满足 $0 < | f (x) | \leq 1$ ，则函数 $y = {log}_{a} | \frac{1}{x} |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{4}$ ）（ω＞0）的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知f（x）= ${\begin{matrix} c o s (x + α) ， x ⩾ 0 \\ s i n (x + β) ， x < 0 \end{matrix}$ 是奇函数，则α，β的可能值为（）

A、， B、， C、， D、，

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7. 设函数f（x）= $\frac{x^{2} - 1}{| x |}$ ，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知| $\vec{O A}$ |=1，| $\vec{O B}$ |=2，∠AOB=60°， $\vec{O P}$ = $λ \vec{O A}$ + $μ \vec{O B}$ ，λ+2μ=2，则 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O P}$ 上的投影（）

A、既有最大值，又有最小值 B、有最大值，没有最小值 C、有最小值，没有最大值 D、既无最大值，双无最小值

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9. 在边长为1的正△ABC中， $\vec{B D}$ =x $\vec{B A}$ ， $\vec{C E}$ =y $\vec{C A}$ ，x＞0，y＞0且x+y=1，则 $\vec{C D}$ • $\vec{B E}$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时f（x）=x² ，则函数g（x）=|sin（πx）|-f（x）在区间[-1，3]上的所有零点的和为（）

A、6 B、7 C、8 D、10

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \sqrt{{log}_{2} x - 1}$ 的定义域为．

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12. 计算： $2^{- 1 + l o g_{2} 3}$ =；若2^a=3^b= $\sqrt{6}$ ，a ， b∈R ，则 $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = ．

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13. 已知 $\vec{A B}$ =（2，3）， $\vec{A C}$ =（-1，k）．若| $\vec{A B} |$ =| $\vec{A C}$ |，则k=；若 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 的夹角为钝角，则k的范围为．

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14. 已知函数f（x）=cos（2x $- \frac{π}{3}$ ），则 $f (\frac{3 π}{4})$ =；若 $f (\frac{x}{2}) = \frac{1}{3}$ ，x∈[- $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}$ ]，
则sin（x $- \frac{π}{3}$ ）= ．

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15. 向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若对任意的t∈R ， | $\vec{a} - t \vec{b}$ |的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则| $\vec{a}$ |= ．

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16. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} - x + 5 ， x \leq 2 \\ a^{x} + 2 a + 2 ， x > 2 \end{matrix}$ ，其中a＞0且a≠1，若a= $\frac{1}{2}$ 时方程f（x）=b有两个不同的实根，则实数b的取值范围是；若f（x）的值域为[3，+∞]，则实数a的取值范围是．

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17. 若任意的实数a≤-1，恒有a•2^b-b-3a≥0成立，则实数b的取值范围为．

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三、解答题

18. 已知 $\vec{a}$ =（cosx ， sinx）， $\vec{b}$ =（1，0）， $\vec{c}$ =（4，4）．
（Ⅰ）若 $\overset{⇀}{a} / / (\overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{b})$ ，求tanx；

（Ⅱ）求| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |的最大值，并求出对应的x的值．

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19. 已知函数f（x）=Asin（x+ $\frac{π}{4}$ ），若f（0）= $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．
（Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．

（i）写出g（x）的解析式和它的对称中心；

（ii）若α为锐角，求使得不等式g（α- $\frac{π}{8}$ ）＜ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）成立的α的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + ϕ) (ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ ，角 $φ$ 的终边经过点 $P (1 ， - \sqrt{3})$ .若 $A (x_{1} ， f (x_{1})) ， B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 是 $f (x)$ 的图象上任意两点，且当 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 4$ 时， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $ω$ 或 $φ$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， π]$ 上的单调递减区间；

(3)、当 $x \in [\frac{π}{18} ， m]$ 时，不等式 $f^{2} (x) - f (x) - 2 \leq 0$ 恒成立，求的最大值.

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21. 已知函数f（x）=log₄（2^2x+1）+mx的图象经过点 $p (\frac{3}{2} ， - \frac{3}{4})$ +log₂3．
（Ⅰ）求m值并判断的奇偶性；

（Ⅱ）设g（x）=log₄（2^x+x+a）f（x），若关于x的方程f（x）=g（x）在x∈[-2，2]上有且只有一个解，求a的取值范围．

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22. 定义在R上的函数f（x）=ax²+x ．
（Ⅰ）当a＞0时，求证：对任意的x₁ ， x₂∈R都有 $\frac{1}{2}$ [f（x₁）+f（x₂）] $\geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立；

（Ⅱ）当x∈[0，2]时，|f（x）|≤1恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若a= $\frac{1}{4}$ ，点p（m ， n²）（m∈Z ， n∈Z）是函数y=f（x）图象上的点，求m ， n ．

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