广东省广州市2018-2019学年高三文数上学期调研考试试卷

试卷更新日期：2019-01-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $P = {x | {(x - 1)}^{2} < 1}$ ， $Q = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $P \cap^{} Q =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i)$ $z$ $= 1 + 2 i$ ，则 $| z |$ $=$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列函数中，既是奇函数，又在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）

A、年接待游客量逐年增加 B、各年的月接待游客量高峰期在8月 C、2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人 D、各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

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5. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 上有一点 $D$ $D$ 满足 $\overset{⇀}{B D} = 4 \overset{⇀}{D C}$ ，则 $\overset{⇀}{A D}$ 可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，离心率为 $\sqrt{3}$ ，点 $P (2 \sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ 在 $C$ 上，则 $C$ 的方程为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 由 $y = 2 sin (6 x - \frac{1}{6} π)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）

A、 B、 C、 D、

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9. $a = 3$ 是直线 $a x + 2 y + 3 a = 0$ 和 $3 x + (a - 1) y = a - 7$ 平行的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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10. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} (x - y - 1) (2 x + y - 5) \geq 0 ， \\ 0 \leq x \leq 2 ， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x - y$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{{sin}^{2} A + {sin}^{2} B - {sin}^{2} C}{c} =$ $\frac{sin A sin B}{a cos B + b cos A}$ ，若 $a + b = 4$ ，则 $c$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴是短轴的2倍，过右焦点F且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线与Γ相交于A ， B两点．若 $\overset{⇀}{A F} = 3 \overset{⇀}{F B}$ ，则 $k =$ （）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则 ${log}_{2} (2 a) =$ ．

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14. 设 $θ$ 为第二象限角，若 $tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $cos θ$ = ．

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15. 圆锥底面半径为 $1$ ，高为 $2 \sqrt{2}$ 点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离

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16. 已知过点 $A (a ， 0)$ 作曲线 $C ： y = x \cdot e^{x}$ 的切线有且仅有两条，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} = 7$ ， $a_{n} = 2 a_{n - 1} + a_{2} - 2$ $(n \geq 2)$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并判断 $n$ ， $a_{n}$ ， $S_{n}$ 是否成等差数列？

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18. 某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

(2)、该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为 $x$ 公斤 $(0 \leq x \leq 500)$ ，利润为 $y$ 元.求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润 $y$ 不小于1750元的概率.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，平面 $A E D$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F ∥ A B$ ， $A B = 2$ ， $B C = E F = 1$ ， $A E = \sqrt{6}$ ， $D E = 3$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $G$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $F G$ $∥$ 平面 $B E D$ ；

(2)、求证： $B D$ $⊥$ 平面 $A E D$ ；

(3)、求点 $F$ 到平面 $B E D$ 的距离.

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20. 已知动圆 $C$ 过定点 $F (1, 0)$ ，且与定直线 $x = - 1$ 相切．

(1)、求动圆圆心 $C$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过点 $M (- 2, 0)$ 的任一条直线 $l$ 与轨迹 $E$ 交于不同的两点 $P, Q$ ，试探究在 $x$ 轴上是否存在定点 $N$ （异于点 $M$ ），使得 $∠ Q N M + ∠ P N M = π$ ？若存在，求点 $N$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a (ln x + x)$ .

(1)、若 $a = -$ e，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a < 0$ 时，记 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，求证： $m \leq 1$ ．

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22. 已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} cos θ + 2 sin θ$ ，直线 $l_{1} : θ = \frac{π}{6} (ρ \in R)$ ，直线 $l_{2} : θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ ．以极点 $O$ 为原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系．

(1)、求直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的直角坐标方程以及曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、已知直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $O, A$ 两点，直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于 $O, B$ 两点，求 $Δ A O B$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} | x - a | (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $| x - \frac{1}{3} | + f (x) \geq 1$ ；

(2)、设不等式 $| x - \frac{1}{3} | + f (x) \leq x$ 的解集为 $M$ ，若 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] \subseteq M$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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