陕西省汉中市2019届高三上学期文数教学质量第一次检测考试试卷

试卷更新日期：2019-01-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < \sqrt{3}}$ ， $B = {x | 1 \leq x < 2}$ ，则 $(C_{R} A) \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 在区间 $[- 3 ， 4]$ 内随机取一个实数 $x$ ，则满足 $2^{x} \geq 2$ 的概率为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y \geq 2 \\ y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y \leq 2 \end{matrix}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为（）

A、4 B、8 C、2 D、6

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 7$ ，则 $a_{3} + a_{5} + a_{7} =$ （）

A、7 B、14 C、21 D、26

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{2} x ， x > 0 \\ 10^{- x} ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (8) + f (lg \frac{1}{3})$ 等于（）

A、8 B、10 C、6 D、

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数 $y = tan (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则向量 $\overset{⇀}{O A}$ 与 $\overset{⇀}{O B}$ 的数量积为（）

A、 B、5 C、2 D、6

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8. 命题 $p$ ：复数 $z = (1 - 2 i) \cdot i$ 对应的点在第二象限；命题 $q$ ： $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $ln x_{0} = 2 - x_{0}$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 我国有一道古典数学名著——两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的 $n =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 已知函数 $f (x) = sin 2 x - \sqrt{3} cos 2 x \in R$ ，则下列结论不正确的是（）

A、最大值为2 B、把函数的图象向右平移个单位长度就得到的图像 C、最小正周期为 $π$ D、单调递增区间是，

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11. 已知 $l, m$ 表示两条不同的直线， $α, β$ 表示两个不同的平面， $l ⊥ α$ ， $m \underset{\neq}{\subset} β$ ，则有下面四个命题：①若 $α / / β$ ，则 $l ⊥ m$ ；②若 $α ⊥ β$ ，则 $l / / m$ ；③若 $l / / m$ ，则 $α ⊥ β$ ；④若 $l ⊥ m$ ，则 $α / / β$ .其中所有正确的命题是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、①②③④

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二、填空题

12. 已知 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 2 ， m)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则实数 $m =$ .

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13. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $b = 1$ ， $c = 3$ ，且 $cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $a =$ .

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14. 若直线 $a x + b y = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 的圆心，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 15 = 0$ ，若直线 $y = k x - 2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $k$ 的最大值为．

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三、解答题

16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} (a \cdot cos C + c \cdot cos A) = 2 b \cdot cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、已知公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} \cdot sin A = 1$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ 成等比数列，记 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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17. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表一：男生

男生	等级	优秀	合格	尚待改进
男生	频数	15	$x$	5

表二：女生

女生	等级	优秀	合格	尚待改进
女生	频数	15	3	$y$

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.01	0.05	0.01
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635

(1)、求

x

y

的值；

(2)、从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

(3)、由表中统计数据填写

2 \times 2

列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

	男生	女生	总计
优秀
非优秀
总计			45

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18. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $A B ⊥ A C$ ，底面 $B C D E$ 为直角梯形， $∠ B C D = 90 °$ ， $O ， F$ 分别为 $B C ， C D$ 中点，且 $A B = A C = C D = 2 B E = 2$ ， $A F = \sqrt{5}$ .

(1)、 $O A ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、若 $P$ 为线段 $C D$ 上一点，且 $O P / /$ 平面 $A D E$ ，求 $\frac{C P}{C D}$ 的值；

(3)、求四棱锥 $A - B C D E$ 的体积.

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点重合，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，过 $x$ 轴正半轴一点 $(m ， 0)$ 且斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、是否存在实数 $m$ 使 $\overset{⇀}{F A} • \overset{⇀}{F B} = 0$ ，若存在求出实数 $m$ 的值；若不存在需说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = a ln x + \frac{1}{x} + 2 x$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $y = 2 x$ 平行.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2 x + \frac{m}{x}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为： ${\begin{matrix} x = 2 + 2 c o s α, \\ y = 2 s i n α, \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以平面直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $C_{2}$ 的极坐标方程为： $ρ cos θ + ρ sin θ = 2$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 交点为 $A, B$ ，求 $Δ A O B$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 |$ ， $g (x) = | x + 1 | + \frac{m}{2} - m^{2}$ .

(1)、若 $m = 0$ ，解不等式 $f (x) \leq g (x)$ ；

(2)、若 $f (x) + 2 g (x) \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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