陕西省汉中市2019届高考文数二模试卷

试卷更新日期：2019-01-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {- 2 ， - 1 ，$ 0，1， $2}$ ， $B = {x | x^{2} \geq 4}$ ，则如图中阴影部分所表示的集合为 $($ $)$

A、 0， B、 C、 D、 0，

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2. 设复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 3 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (1 ， 2)$ ，则 $tan (α - \frac{π}{4}) = ($ $)$

A、 B、 C、3 D、 $- 3$

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4. “ ${log}_{2} (x + 1) > 1$ ”是“ $x > 2$ ”的 $($ $)$

A、充要条件 B、充分而不必要条件 C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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6. 设实数x，y满足 ${\begin{matrix} y \leq 2 \\ x + y \geq 1 \\ y \geq x \end{matrix}$ ，则 $x - 2 y$ 的最小值为 $($ $)$

A、 B、 $- 2$ C、 D、5

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} (x > 0) \\ x + 1 (x \leq 0) \end{matrix}$ ，若 $f (a) + f (1) = 0$ ，则实数 $a$ 的值等于（）

A、 $- 3$ B、 C、 D、 $3$

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8. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等.”（“钱”是古代的一种重量单位），则其中第二人分得的钱数是（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、1 C、 D、 $\frac{4}{3}$

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9. 如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的 $S = - 12$ ，则输出的S的值为 $($ $)$

A、4 B、5 C、8 D、9

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10. 汉中电视台“关注汉中”栏目的播出时间是每天中午12：30到13：00，在该档节目中将随机安排播出时长5分钟的有关“金色花海真美汉中”的新闻报道 $.$ 若小张于某天12：50打开电视，则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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11. 设 $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点， $B (0 ， b)$ ，若直线 $F B$ 与 $C$ 的一条渐近线垂直，则 $C$ 的离心率为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 若关于x的方程 $(ln x - a x) ln x = x^{2}$ 存在三个不等实根，则实数a的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 6 ， m) ， (m \in R)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知正项等比数列{a_n}中，a₁=1，其前n项和为S_n（n∈N*），且 $\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}} = \frac{2}{a_{3}}$ ，则S₄= ．

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15. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c sin B = \sqrt{3} b cos C$ ， $A = 45 °$ ，则 $cos B =$ ．

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F ， M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $C$ 上的两个动点，若 $x_{1} + x_{2} + 2 = 2 | M N |$ ，则 $∠ M F N$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin x cos x - {sin}^{2} x + {cos}^{2} x (x \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值及取得最小值时所对应的 $x$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间．

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18. 陕西理工大学开展大学生社会实践活动，用“10分制”随机调查汉台区某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16人，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分 $($ 以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶 $)$ ：

(1)、写出这组数据的众数和中位数；

(2)、若幸福指数不低于9分，则称该人的幸福指数为“极幸福”；若幸福指数不高于8分，则称该人的幸福指数为“不够幸福” $.$ 现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，求选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率．

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19. 如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上， $A B / / E F$ ，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知 $A B = 4$ ， $E F = 2$ ．

(1)、求证：平面 $D A F ⊥$ 平面CBF；

(2)、当 $A D = 4$ 时，求多面体FABCD的体积．

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20. 已知两定点 $A_{1} (- 2 ， 0)$ ， $A_{2} (2 ， 0)$ ，动点 $M$ 使直线 $M A_{1}$ ， $M A_{2}$ 的斜率的乘积为 $- \frac{1}{4}$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F (- \sqrt{3} ， 0)$ 的直线与 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，是否存在常数 $λ$ ，使得 $| \overset{⇀}{P Q} | = λ \overset{⇀}{F P} \cdot \overset{⇀}{F Q}$ ？并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = {(x + 1)}^{2} - 3 a ln x, a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 图象经过的定点坐标；

(2)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程及函数 $f (x)$ 单调区间；

(3)、若对任意 $x \in [1, e]$ ， $f (x) \leq 4$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} c o s α \\ y = s i n α \end{matrix}$ (其中 $α$ 为参数)，曲线 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若射线 $θ = \frac{π}{6} (ρ > 0)$ 与曲线 $C_{1}, C_{2}$ 分别交于 $A, B$ 两点，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | + | x + 2 |$ ．
（Ⅰ）若不等式 $f (x) \geq | m + 1 |$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值 $M$ ；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + 2 b + c = M$ ，求证： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} \geq 1$ ．

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