2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）同步练习

试卷更新日期：2019-01-17 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知一元二次方程x²＋kx－3＝0有一个根为1，则另一根为（）

A、－3 B、－2 C、2 D、3

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2. 已知 $α$ ， $β$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 3) x + m^{2} = 0$ 的两个不相等的实数根，且满足 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = - 1$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $1$ C、 $3$ 或 $- 1$ D、 $- 3$ 或 $1$

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3. 关于x的一元二次方程x²+px+q=0的两个实数根分别是-2和3，则（）

A、， B、， C、， D、，

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4. 已知m，n是关于x的一元二次方程x²－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为（）

A、－10 B、4 C、－4 D、10

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5. 下列一元二次方程中，两实数根的和为 $- 4$ 的是（）

A、 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ B、 $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ C、 $x^{2} + 4 x + 10 = 0$ D、 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$

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6. 已知x₁ ， x₂是关于x的方程x²+bx﹣3=0的两根，且满足x₁+x₂﹣3x₁x₂=5，那么b的值为（）

A、4 B、﹣4 C、3 D、﹣3

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7. 已知实数x₁ ， x₂满足x₁＋x₂＝7，x₁x₂＝－12，则以x₁ ， x₂为根的一元二次方程是（）

A、x²－7x＋12＝0 B、x²－7x－12＝0 C、x²＋7x－12＝0 D、x²＋7x＋12＝0

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8. 若α，β是一元二次方程3x²+2x－9=0的两根，则 $\frac{β}{α}$ + $\frac{α}{β}$ 的值是（）。

A、 $\frac{4}{27}$ B、－ $\frac{4}{27}$ C、－ $\frac{58}{27}$ D、 $\frac{58}{27}$

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9. 已知一元二次方程2x²+2x﹣1=0的两个根为x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，下列结论正确的是（）

A、x₁+x₂=1 B、x₁•x₂=﹣1 C、|x₁|＜|x₂| D、x₁²+x₁= $\frac{1}{2}$

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10. 有两个关于x的一元二次方程：M： $a x^{2} + b x + c = 0$ N： $c x^{2} + b x + a = 0$ ，其中 $a + c = 0$ ，以下列四个结论中，错误的是（）

A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根； B、如果方程M有两根符号异号，那么方程N的两根符号也异号； C、如果5是方程M的一个根，那么 $\frac{1}{5}$ 是方程N的一个根； D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是 $x = 1$

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二、填空题

11. 写出一个以1和-2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）．

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12. 已知关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ，则方程 $a {(x + 1)}^{2} + b (x + 1) + 1 = 0$ 的两根之和为.

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13. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 1 = 0$ 的一个根为 $x_{1} = \sqrt{5} + 2$ ，则另一个根 $x_{2} =$ ．

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14. 关于x的一元二次方程x²﹣2kx+k²﹣k=0的两个实数根分别是x₁、x₂ ，且x₁²+x₂²=4，则x₁²﹣x₁x₂+x₂²的值是．

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15. 对于任意实数a、b，定义：a◆b=a²+ab+b² ．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m²+n²= ．

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16. 通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²﹣4ac≥0时有两个实数根：x₁= $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ，x₂= $\frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ，于是：x₁+x₂= $- \frac{b}{a}$ ，x₁•x₂= $\frac{c}{a}$ 、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的两实数根分别为x₁ ， x₂ ，且x₁²+x₂²=1，则k的值为．

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三、综合题

17. 设方程4x²﹣7x﹣3=0的两根为x₁ ， x₂ ，不解方程求下列各式的值：

(1)、x₁²x₂+x₁x₂² ．

(2)、 $\frac{x_{2}}{x_{1} + 1}$ + $\frac{x_{1}}{x_{2} +}$ ．

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18. 已知a、b是一元二次方程x²﹣2x﹣1=0的两个根且a²﹣2a﹣1=0，求a²﹣a+b+3ab的值．

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19. 已知关于x的方程（a﹣1）x²+2x+a﹣1=0．

(1)、若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；

(2)、当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．

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20. 已知关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²−2=0．

(1)、若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

(2)、若方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + m^{2} = 21$ ，求m的值．

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21. 已知：方程组 ${\begin{matrix} k x^{2} - x - y + \frac{1}{2} = 0 \\ y = k (2 x - 1) \end{matrix}$ 有两组不同的实数解 ${\begin{matrix} x = x_{1} \\ y = y_{1} \end{matrix}$ ， ${\begin{matrix} x = x_{2} \\ y = y_{2} \end{matrix}$ ．

(1)、求实数k的取值范围．

(2)、是否存在实数k，使 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 2$ ？若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知方程 +px+q＝0的两个根是，，那么 + ＝－p， $x_{1}$ $x_{2}$ ＝q，反过来，如果 $x_{1}$ + $x_{2}$ ＝－p， $x_{1}$ $x_{2}$ ＝q，那么以 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为两根的一元二次方程是 $x^{2}$ +px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：

(1)、已知关于x的方程 $x^{2}$ +mx+n＝0(n≠0)，求出—个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．

(2)、已知a、b满足 $a^{2}$ －15a－5＝0， $b^{2}$ －15b－5＝0，求 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值．

(3)、已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值

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23. 阅读理解：
材料 $1$ ．若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料 $2$ ．已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．
解：由题知 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，
根据材料 $1$ 得 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ ．
解决问题：

(1)、一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ．

(2)、已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $2 m^{2} - 2 m - 1 = 0$ ， $2 n^{2} - 2 n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

(3)、已知实数 $p$ ， $q$ 满足 $p^{2} = 3 p + 2$ ， $2 q^{2} = 3 q + 1$ ，且 $p \neq 2 q$ ，求 $p^{2} + 4 q^{2}$ 的值．

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二、填空题

三、综合题

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