四川省成都市高新区2018-2019学年高三上学期文数“一诊”模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-01-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = Z$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = 1$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为 $\bar{x_{甲}}$ 、 $\bar{x_{乙}}$ ，标准差分别为 $σ_{甲} ， σ_{乙}$ ，则（）

A、， B、， C、， D、，

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4. 已知直线 $m$ 和平面 $α, β$ ，若 $m \subset α$ ，则“ $m ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知椭圆 $C ： 16 x^{2} + 4 y^{2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、长轴长为 $\frac{1}{2}$ B、焦距为 C、短轴长为 $\frac{1}{4}$ D、离心率为

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7. 执行下面的程序框图，则输出 $K$ 的值为（）

A、99 B、98 C、100 D、101

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8. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，若 $a_{2} = 1$ ， $a_{5} = \frac{1}{8}$ ，则 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + a_{4} a_{5} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到的图象关于 $y$ 轴对称，则（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 B、函数 $f (x)$ 图象关于点对称 C、函数 $f (x)$ 图象关于直线对称 D、函数 $f (x)$ 在上单调

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E F / / A D$ ， $G H / / B C$ ， $B C = 2$ ， $A F = F G = B G = 1$ ，现分别沿 $E F ， G H$ 将矩形折叠使得 $A D$ 与 $B C$ 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 过曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 作曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，设切点为 $M$ ，延长 $F_{1} M$ 交曲线 $C_{3} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于点 $N$ ，其中 $C_{1}$ ， $C_{3}$ 有一个共同的焦点，若 $M$ 为 $F_{1} N$ 的中点，则曲线 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 B、 $\sqrt{5}$ C、 D、

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\overset{⇀}{m} = (1, 2)$ ， $\overset{⇀}{n} = (1, 0)$ ，则 $\overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n}$ 在 $\overset{⇀}{n}$ 上的投影为.

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x}, x \geq 3 \\ f (x + 1), x < 3 \end{matrix}$ ，则 $f ({log}_{2} 5) =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n} = 2 n$ ，则数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和为.

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16. 已知函数 $g (x) = x (e^{x} - e^{- x}) - (3 x - 1) (e^{3 x - 1} - e^{1 - 3 x})$ ，则满足 $g (x) > 0$ 的实数 $x$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3} - 1$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A D C = 30 °$ ， $C D = \sqrt{6}$ .

(1)、求 $sin ∠ C A B$ ；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ B C D = 120 °$ ，侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ B A P = 90 °$ ， $A B = A C = P A = 2$ .

(1)、求证：面 $P B D ⊥$ 面 $P A C$ ；

(2)、过 $A C$ 的平面交 $P D$ 于点 $M$ ，若平面 $A M C$ 把四面体 $P - A C D$ 分成体积相等的两部分，求三棱锥 $M - P A B$ 的体积.

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19. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.程度2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：

每分钟跳绳个数

$[155 ， 165)$

$[165 ， 175)$

$[175 ， 185)$

$[185 ， + \infty)$

得分

17

18

19

20

(1)、请估计学生的跳绳个数的众数、中位数和平均数（保留整数）；

(2)、若从跳绳个数在 $[155 ， 165)$ 、 $[165 ， 175)$ 两组中按分层抽样的方法抽取9人参加正式测试，并从中任意选取2人，求两人得分之和不大于34分的概率.

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20. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，过点 $(- 1, 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 相切，设第一象限的切点为 $P$ .

(1)、求点 $P$ 的坐标；

(2)、若过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于两点 $A, B$ ，圆 $M$ 是以线段 $A B$ 为直径的圆过点 $P$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 1)$ ， $a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、设 $g (x) = f (x) + \frac{a}{e^{x}}$ ，且 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 是曲线上 $y = g (x)$ 任意两点，若对任意的 $a \leq - 1$ ，直线 $A B$ 的斜率恒大于常数 $m$ ，求 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $M$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s β \\ y = s i n β \end{matrix}$ （ $β$ 为参数），以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = α$ ，直线 $l_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = α + \frac{π}{2}$ .

(1)、写出曲线 $M$ 的极坐标方程并指出它是何种曲线；

(2)、设 $l_{1}$ 与曲线 $M$ 交于 $A$ 、 $C$ 两点， $l_{2}$ 与曲线交于 $B$ 、 $D$ 两点，求四边形 $A B C D$ 面积的取值范围..

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + 2 | x + 1 |$ .

(1)、若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) + m^{2} \leq m + 5$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 是（1）中的最大值，且 $a^{3} + b^{3} = m$ ，证明： $0 < a + b \leq 2$ .

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每分钟跳绳个数	$[155 ， 165)$	$[165 ， 175)$	$[175 ， 185)$	$[185 ， + \infty)$
得分	17	18	19	20