四川省自贡市普高2018-2019学年文数第一次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2019-01-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、或 C、 D、

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2. 若 $z = \frac{- 2 + 3 i}{i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 B、 C、 D、2

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3. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{7} = 11$ ，则 $S_{13} =$ （）

A、66 B、99 C、110 D、143

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4. 若 $sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin 2 x =$ （）

A、 B、 C、 D、

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5. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，若向该矩形内随机投一点 $P$ ，那么使 $Δ A B P$ 与 $Δ A D P$ 的面积都小于4的概率为（）

A、 B、 C、 D、 $\frac{4}{9}$

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6. 如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 $a ， b$ 分别为63，36，则输出的 $a =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、18

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ 是数列 ${a_{n}}$ 是递增数列的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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8. 将函数 $f (x) = sin 2 x$ 向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ ，则 $g (x)$ 具有性质（）

A、在上单调递增，为偶函数 B、最大值为1，图象关于直线对称 C、在上单调递增，为奇函数 D、周期为，图象关于点对称

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9. 在四边形 $A B C D$ 中， $A C = 2$ ， $B D = 1$ ，则 $(\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{D C}) \cdot (\overset{⇀}{C A} + \overset{⇀}{D B}) =$ （）

A、5 B、 C、 $- 3$ D、3

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10. 已知函数 $f (x) = (x - 1) (a x + c)$ （ $a ， c$ 为实数）为偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 单调递减，则 $f (1 - x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(0, 2)$ B、 C、 D、

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11. 若长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点都在体积为 $288 π$ 的球 $O$ 的球面上，则长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积的最大值等于（）

A、576 B、288 C、144 D、72

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12. 对于实数 $a, b, m$ ，下列说法：①若 $a > b$ ，则 $a m^{2} > b m^{2}$ ；②若 $a > b$ ，则 $a | a | > b | b |$ ；③若 $b > a > 0, m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ ；④若 $a > b > 0$ ，且 $| ln a | = | ln b |$ ，则 $2 a + b \in [2 \sqrt{2}, + \infty)$ ，其中正确的命题的个数（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. $sin (- 675^{\circ}) =$ ．

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14. 通常，满分为 $100$ 分的试卷， $60$ 分为及格线.若某次满分为 $100$ 分的测试卷， $100$ 人参加测试，将这 $100$ 人的卷面分数按照 $[24 ， 36)$ ， $[36 ， 48)$ ，…， $[84 ， 96]$ 分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以 $10$ 取整”的方法进行换算以提高及格率（实数 $a$ 的取整等于不超过 $a$ 的最大整数），如：某位学生卷面 $49$ 分，则换算成 $70$ 分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为．（结果用小数表示）

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15. 函数 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} - 1$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0}$ $< 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知向量 $\overset{⇀}{m} = (- cos x, 1), \overset{⇀}{n} = (\sqrt{3}, 2 sin x)$

(1)、当 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$ 时，求 $\frac{\sqrt{3} cos x sin x}{1 + {cos}^{2} x}$ 的值；

(2)、已知钝角 $Δ A B C$ 中，角 $B$ 为钝角， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边，且 $c = 2 b sin (A + B)$ ，若函数 $f (x) = 4 {\overset{⇀}{m}}^{2} - {\overset{⇀}{n}}^{2}$ ，求 $f (B)$ 的值．

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17. 某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：

	同意	不同意	合计
男生	a	5
女生	40	d
合计			100

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (k^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.100	0.050	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

(1)、求 a ， d 的值；

(2)、根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；

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18. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} > 0$ ，且 $2 S_{n} - a_{n} = a_{n}^{2} (n \in N^{*})$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} > 0$ ，令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形，且平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 90^{0}$ .

(1)、证明： $P D ⊥ A B$ ；

(2)、点 $M$ 在棱 $P C$ 上，且 $C M = λ C P$ ，若三棱锥 $D - A C M$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{2} a x^{2} + (1 - a) x + 1$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有极值，对任意的 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，存在 $x_{0}$ 使 $f' (x_{0}) = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ ，试比较 $f' (x_{0})$ 与 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 的大小.

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为： ${\begin{matrix} x = 1 + t c o s ϕ \\ y = 1 + t s i n ϕ \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $ϕ \in [0, π)$ ），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为： $ρ = 4 cos (θ - \frac{π}{3})$ ．

(1)、求圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P (1, 1)$ ，若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $| P A | | P B |$ 的值.

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22. 设函数 $f (x) = | a x + 1 | + | x + 1 | (x \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、对任意实数 $x \in [2 ， 3]$ ，都有 $f (x) \geq 2 x - 3$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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