四川省泸州市2018-2019学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷

试卷更新日期：2019-01-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) | y = - x + 2}$ ， $B = {(x, y) | y = 2^{x}}$ ，则 $A \cap^{} B$ 元素的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} > x + 1$ （ $e$ 是自然对数的底数）”的否定是（）

A、不存在，使 B、，使 C、，使 D、，使

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{tan x}{1 - {tan}^{2} x}$ ，则函数 $f (x)$ 的最小正周期为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = ln (\frac{3}{π})$ ，则下列关系正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $f (x) = x cos x - sin x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $l, m$ 是两条不同的直线， $m$ 垂直于平面 $α$ ，则“ $l ⊥ m$ ”是“ $l / / α$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $3^{a} = 4^{b} = 6^{c}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A D = 2 A B = 2$ .将梯形 $A B C D$ 绕 $A D$ 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将函数 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{4}$ ，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移 $θ (θ > 0)$ 个单位长度，得到的函数图象关于直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 对称，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 $α$ ， $β$ ，且小正方形与大正方形面积之比为 $9 ： 25$ ，则 $cos (α - β)$ 的值为（）

A、 B、 $\frac{4}{9}$ C、 D、

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11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a ln x + (a - 1) x + a (a > 0)$ 的值域与函数 $f (f (x))$ 的值域相同，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 使不等式 ${log}_{\frac{1}{2}} (x - 2) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是.

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a sin A = c sin C + (a - b) sin B$ ，则角 $C$ 的大小为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x} + 1 ， x \leq 0 \\ - \sqrt{x} ， x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (x + 1) - 9 \leq 0$ 的解集为.

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16. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 A D$ ， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点， $B F = C_{1} K = \frac{1}{4} A B$ ，设过点 $E$ 、 $F$ 、 $K$ 的平面与平面 $A C$ 的交线为 $l$ ，则直线 $l$ 与直线 $A_{1} D_{1}$ 所成角的正切值为.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 6$ ， $cos A = \frac{1}{8}$ .

(1)、若 $b = 5$ ，求 $sin C$ 的值；

(2)、 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ ，求 $b + c$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = a x - 2 sin x + x cos x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 都在单位圆 $O$ 上， $∠ x O A = α$ ，且 $α \in (\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{13}{14}$ ，求 $x_{1}$ 的值；

(2)、若 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，求 $y = x_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ 的取值范围.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形，且 $∠ B C D = \frac{π}{4}$ ， $P D ⊥ B C$ .

(1)、求证： $P C = P D$ ；

(2)、若底面 $A B C D$ 是菱形， $P A$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - a) ln x + \frac{1}{2} x (a > 0)$ .

(1)、若 $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，讨论 $g (x) = f' (x) - x - a ln x$ 的单调性；

(2)、若 $a \in (\frac{1}{2 e} ， 2 \sqrt{e})$ （ $e$ 是自然对数的底数），求证： $f (x) > 0$ .

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22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ {sin}^{2} θ = 2 a cos θ (a > 0)$ ，过点 $P (- 2, - 4)$ 的直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + 5 t \\ y = - 4 + 5 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；

(2)、若 $| P A | | P B | = | A B |^{2}$ ，求 $a$ 的值.

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23. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = | x - m | + | x |$ ， $m \in N^{*}$ ，若存在实数 $x$ 使 $f (x) < 2$ 成立.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $a > 1$ ， $b > 1$ ， $f (a) + f (b) = 4$ ，求证： $\frac{4}{a} + \frac{1}{b} > 3$ .

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