四川省凉山州2018-2019学年高中毕业班文数第一次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2019-01-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2 x - 1 〉 0}$ ，集合 $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 $(0 ， 1)$ 递减的函数是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知双曲线 $E$ 的渐近线方程是 $y = \pm 2 x$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、或2 B、 $\sqrt{5}$ C、 D、 $\sqrt{5}$ 或

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4. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别是 $A B_{1}$ 、 $B C_{1}$ 的中点，下列结论中，正确的是（）

A、 B、平面 C、平面 D、平面

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5. 设 $Δ A B C$ 是边长为2的正三角形， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $A E$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot (\overset{⇀}{F B} + \overset{⇀}{F C})$ 的值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、

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6. 执行如图所示的程序框图，输出 $S$ 的值为（）

A、 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知 $x ， y \in R$ ，则“ $x^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 8$ ”是“ $x - y + 6 > 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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8. 函数 $f (x) = | sin x + cos (x - \frac{π}{4}) |$ 的最小正周期为（）

A、 B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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9. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} \neq 0$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \geq 1)$ ， $S_{n}$ 表示 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = \frac{127}{2} a_{2}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是内角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2 c$ ， $cos A = \frac{7}{8}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积等于（）

A、 B、 $\sqrt{15}$ C、 D、3

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11. 十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数 $n > 2$ 时，关于 $x ， y ， z$ 的方程 $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ 没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁 $\cdot$ 怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（）

A、存在至少一组正整数组使方程有解 B、关于的方程有正有理数解 C、关于的方程没有正有理数解 D、当整数时，关于的方程没有正实数解

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12. 若 $0 < x_{1} < x_{2} < a$ 都有 $x_{2} ln x_{1} - x_{1} ln x_{2} < x_{1} - x_{2}$ 成立，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 D、

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二、填空题

13. $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{i}{3 + 4 i} =$ ．

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14. 函数 $y = \frac{2 x^{2} + 1}{x} (x > 0)$ 的值域是．

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15. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左右焦点， $P$ 是椭圆 $E$ 上的点，则 $| P F_{1} | \cdot {|PF}_{2} |$ 的最小值是．

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16. 定义函数 $f (x) = max {λ x, - λ x}$ ， $x \in R$ ，其中 $λ > 0$ ，符号 $max {a, b}$ 表示数 $a, b$ 中的较大者，给出以下命题：① $f (x)$ 是奇函数；②若不等式 $f (x - 1) + f (x - 2) \geq 1$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则 $λ \geq 1$ ③ $λ = 1$ 时， $F (x) = f (x) + f (x - 1) + f (x - 2) + \dots + f (x - 100)$ 最小值是2450④“ $x y > 0$ ”是“ $f (x) + f (y) \geq f (x + y)$ ”成立的充要条件，以上正确命题是．（写出所有正确命题的序号）

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三、解答题

17. 从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分别直方图.

(1)、求这100份数学试卷成绩的中位数；

(2)、从总分在 $[55 ， 65)$ 和 $[135 ， 145)$ 的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率.

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} = 4$ ， $A B = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C = 45^{0}$ ，点 $M$ 是棱 $A A_{1}$ 上不同于 $A ， A_{1}$ 的动点.

(1)、证明： $B C ⊥ B_{1} M$ ；

(2)、若 $M$ 是 $A A_{1}$ 的中点，求四面体 $M B_{1} B C$ 的体积.

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19. 设有三点 $A, B, P$ ，其中点 $A, P$ 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上， $A (0, 2)$ ， $B (2, 0)$ ，且 $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} = \frac{\sqrt{6}}{2} \overset{⇀}{O P}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过椭圆 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 倾斜角为 $45^{0}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $E, F$ ，求三角形 $O E F$ 的面积.

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且数列 $a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, \dots, a_{n + 1} - a_{n}, \dots$ 是以2为公比的等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 设函数 $f (x) = 3 x^{2} + a ln x$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若 $F (x) = {(f (x))}^{3} - f (x)$ 有三个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 sin θ$ ，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = θ_{0} (ρ \in R)$ ，曲线 $C$ 与直线 $l$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、当 $θ_{0} = \frac{π}{3}$ 时，求 $|AB|$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + a | + | x + 1 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2$ ；

(2)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值.

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