四川省成都市龙泉驿区2018-2019学年高三理数统一模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-01-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 < x < 3 ， x \in Z}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则集合 $A \cap^{} B$ 为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z²=（）

A、 B、2i C、 $- \sqrt{2}$ D、2+2i

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3. 已知 $sin (\frac{π}{2} + α) = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0 ， π)$ ，则 $sin (π + 2 α)$ 等于（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = - 2 x$ ，该双曲线的离心率是（）

A、 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 如图， $\vec{A D}$ 是以正方形的边 $A D$ 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）

A、 B、 C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若α⊥β，m⊥α，则m∥β B、若m∥α，n⊂α，则m∥n C、若α∩β=m，n∥α，n∥β，则m∥n D、若α⊥β，且α∩β=m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β

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7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $p$ 为直线 $x + y - 2 = 0$ 上的点，过点 $p$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点为 $M$ ， $N$ ，若 $∠ M P N = 90^{\circ}$ ，则这样的点 $p$ 有（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、无数个

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9. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x - 1} (x < 2) \\ - {log}_{3} (x - 1) (x \geq 2) \end{matrix}$ ，则不等式 $f (x) > 1$ 的解集为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 函数 $f (x) = (2^{x} - 2^{- x}) cos x$ 在区间 $[- 5 ， 5]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = x ， M$ 为 $x$ 轴负半轴上的动点， $M A ， M B$ 为抛物线的切线， $A ， B$ 分别为切点，则 $\overset{⇀}{M A} \cdot \overset{⇀}{M B}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 C、 D、 $- \frac{1}{2}$

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12. 将函数 $f (x) = sin 2 x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象 $.$ 若对满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ 的 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，有 $| x_{1} - x_{2} |_{m i n} = \frac{π}{3}$ ，则 $φ = ($ $)$

A、 B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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二、填空题

13. 已知 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 均为单位向量，且它们的夹角为120°，则|4 $\overset{⇀}{a}$ + $\overset{⇀}{b}$ |= ．

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14. 二项式（x²﹣ $\frac{2}{x}$ ）⁶的展开式中的常数项是．

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15. 在△ABC中，a=2，b= $\sqrt{2}$ ，B= $\frac{π}{6}$ ，则A= ．

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16. 若函数f（x）=﹣ $\frac{5}{6}$ x﹣ $\frac{1}{12}$ cos2x+m（sinx﹣cosx）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前项和 $S_{n} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2}$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2 {log}_{3}^{a_{n}} - 1$ ,求数列 ${(- 1) a_{n} + b_{n}}$ 的前n项和T_n

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18. 如图，在三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，AC的中点，B₁E⊥平面ABC，△AB₁C是等边三角形，AB=2A₁B₁ ， AC=2BC，∠ACB=90°．

（Ⅰ）证明：B₁C∥平面A₁DE；

（Ⅱ）求二面角A﹣BB₁﹣C的余弦值．

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19. “微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

步数/步	$0 \sim 3000$	$3001 \sim 6000$	$6001 \sim 8000$	$8001 \sim 10000$	10000以上
男生人数/人	1	2	7	15	5
女性人数/人	0	3	7	9	1

规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.

(1)、以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记

X

表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求

P (X \leq 2)

和

X

的数学期望.

(2)、为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为

x

；

其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为 $y$ ；求 $x > y$ 的概率.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T．
（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；

（Ⅱ）O为坐标原点，与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A，B，直线l′与直线l交于点P，试判断 $\frac{| P T |^{2}}{| P A | \cdot | P B |}$ 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 2) (e^{x} - a x)$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的极值情况；

(2)、若 $(x - 1) [f (x) - a + e] \geq 0$ ，求 $a$ 的值.

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22. 在平面直角坐标系中，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + 2 c o s α \\ y = 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ - \frac{π}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求圆 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $M$ 是圆 $C$ 上不同于 $A, B$ 两点的动点，求 $Δ M A B$ 面积的最大值.

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23. 已知a＞0，b＞0，且a²+b²=1，证明：
（Ⅰ）4a²+b²≥9a²b²；

（Ⅱ）（a³+b³）²＜1．

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