四川省成都市高新区2018-2019学年高三上学期理数“一诊”模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-01-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = Z$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = 1$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 B、 $\frac{2}{5}$ C、 D、 $\frac{1}{5}$

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3. 甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为 $\bar{x_{甲}}$ 、 $\bar{x_{乙}}$ ，标准差分别为 $σ_{甲} ， σ_{乙}$ ，则（）

A、， B、， C、， D、，

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4. 已知直线 $m$ 和平面 $α, β$ ，若 $m \subset α$ ，则“ $m ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知椭圆 $C ： 16 x^{2} + 4 y^{2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、长轴长为 $\frac{1}{2}$ B、焦距为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、短轴长为 $\frac{1}{4}$ D、离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 执行下面的程序框图，则输出 $K$ 的值为（）

A、99 B、98 C、100 D、101

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7. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若在 $(a + 2 x) {(1 - \sqrt{x})}^{6}$ 关于 $x$ 的展开式中，常数项为2，则 $x^{2}$ 的系数是（）

A、60 B、45 C、42 D、-42

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，若 $a_{2} = 1$ ， $a_{5} = \frac{1}{8}$ ，则 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + a_{4} a_{5} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到的图象关于 $y$ 轴对称，则（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 B、函数 $f (x)$ 图象关于点对称 C、函数 $f (x)$ 图象关于直线对称 D、函数 $f (x)$ 在上单调

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E F / / C D$ ， $G H / / B C$ ， $B C = 2$ ， $A F = F G = B G = 1$ ，现分别沿 $E F ， G H$ 将矩形折叠使得 $A D$ 与 $B C$ 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 过曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 作曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，设切点为 $M$ ，延长 $F_{1} M$ 交曲线 $C_{3} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于点 $N$ ，其中 $C_{1}$ ， $C_{3}$ 有一个共同的焦点，若 $\overset{⇀}{M F_{1}} + \overset{⇀}{M N} = \overset{⇀}{0}$ ，则曲线 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 B、 $\sqrt{5}$ C、 D、

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\overset{⇀}{m} = (1, 2)$ ， $\overset{⇀}{n} = (1, 0)$ ，则 $\overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n}$ 在 $\overset{⇀}{n}$ 上的投影为.

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} ， x \geq 3 \\ f (x + 1) ， x < 3 \end{matrix}$ ，则 $f ({log}_{2} 3) =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n} = 2 n$ ，则数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和为.

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16. 已知函数 $g (x) = \frac{x e^{2 x} - x}{e^{x}} - (3 x - 1) (e^{3 x - 1} - e^{1 - 3 x})$ ，则满足 $g (x) > 0$ 的实数 $x$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3} - 1$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A D C = 30 °$ .

（Ⅰ）若 $C D = \sqrt{6}$ ，求 $A D$ ；

（Ⅱ）求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ B C D = 120 °$ ，侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ B A P = 90 °$ ， $A B = A C = P A = 2$ .

（Ⅰ）求证：平面 $P B D ⊥ 平$ 面 $P A C$ ；

（Ⅱ）过 $A C$ 的平面交 $P D$ 于点 $M$ ，若平面 $A M C$ 把四面体 $P - A C D$ 分成体积相等的两部分，求二面角 $M - P C - B$ 的余弦值.

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19. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.程度2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：

每分钟跳绳个数

$[155 ， 165)$

$[165 ， 175)$

$[175 ， 185)$

$[185 ， + \infty)$

得分

17

18

19

20

（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；；

（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 $S^{2} \approx 169$ （各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：

$(i)$ 预计全年级恰有2000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）

$(i i)$ 若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ，求随机变量的分布列和期望.

附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

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20. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，过点 $(- 1, 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 相切，设第一象限的切点为 $P$ .
（Ⅰ）证明：点 $P$ 在 $x$ 轴上的射影为焦点 $F$ ；

（Ⅱ）若过点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于两点 $A, B$ ，圆 $M$ 是以线段 $A B$ 为直径的圆且过点 $P$ ，求直线 $l$ 与圆 $M$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{a - 1}{x} + 1 - 2 a - ln x$ ， $a \in R$ .
（Ⅰ）若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in [1 ， + \infty)$ 上恒成立，求正数 $a$ 的取值范围；

（Ⅲ）证明： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > ln (n + 1) + \frac{n}{2 (n + 1)} (n \in N^{*})$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $M$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s β \\ y = s i n β \end{matrix}$ （ $β$ 为参数），以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = α$ ，直线 $l_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = α + \frac{π}{2}$ .

(1)、写出曲线 $M$ 的极坐标方程并指出它是何种曲线；

(2)、设 $l_{1}$ 与曲线 $M$ 交于 $A$ 、 $C$ 两点， $l_{2}$ 与曲线交于 $B$ 、 $D$ 两点，求四边形 $A B C D$ 面积的取值范围.

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + 2 | x + 1 |$ .

(1)、若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) + m^{2} \leq m + 5$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 是（1）中的最大值，且 $a^{3} + b^{3} = m$ ，证明： $0 < a + b \leq 2$ .

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每分钟跳绳个数	$[155 ， 165)$	$[165 ， 175)$	$[175 ， 185)$	$[185 ， + \infty)$
得分	17	18	19	20