2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A

试卷更新日期：2019-01-15 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB=（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（）

A、sinA=cosA B、sinA＞cosA C、sinA＞tanA D、sinA＜cosA

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3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= $\frac{5}{13}$ ，则cosA的值为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 C、 $\frac{2}{3}$ D、

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4. 2cos60°=（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、

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5. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）

A、 B、 $\sqrt{5}$ C、 D、2

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6. 如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）

A、（11﹣2 $\sqrt{2}$ ）米 B、（11 $\sqrt{3}$ ﹣2 $\sqrt{2}$ ）米 C、（11﹣2 $\sqrt{3}$ ）米 D、（11 $\sqrt{3}$ ﹣4）米

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7. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）

A、100米 B、50 $\sqrt{3}$ 米 C、米 D、50米

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8. 如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 $\sqrt{5}$ 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）

A、5米 B、6米 C、8米 D、（3+ $\sqrt{5}$ ）米

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9. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是 $1 ： \sqrt{3}$ （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）

A、9m B、6m C、 $6 \sqrt{3}$ m D、 $3 \sqrt{3}$ m

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10. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计， $\sqrt{3}$ ≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）

A、47m B、51m C、53m D、54m

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11. 南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+ $\sqrt{3}$ ）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（）

A、10 $\sqrt{2}$ 海里 B、20 $\sqrt{2}$ 海里 C、20 $\sqrt{3}$ 海里 D、10 $\sqrt{3}$ 海里

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二、填空题

12.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=

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13. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则 $\frac{A P}{P B}$ 的值= ， tan∠APD的值= ．

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14. 在△ABC中，若|sinA﹣ $\frac{1}{2}$ |+（cosB﹣ $\frac{1}{2}$ ）²=0，则∠C的度数是．

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15. 如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B= $\frac{3}{4}$ ，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d₁ ， d₂ ，则d₁²+d₂²的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的番号）．

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16. 已知△ABC中，AB=10，AC=2 $\sqrt{7}$ ，∠B=30°，则△ABC的面积等于．

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17. 如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为米（结果保留根号）．

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三、解答题

18. 计算： $\frac{\sin 45 ° + \cos 30 °}{3 - 2 \cos 60 °}$ ﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）

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19. 计算：6tan30°﹣2sin60°+cos²45°．

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20. 如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB= $\frac{1}{8}$ ．

(1)、求BC的长；

(2)、利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据： $\sqrt{2}$ =1.4， $\sqrt{3}$ =1.7， $\sqrt{5}$ =2.2）

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21. 某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732， $\sqrt{6}$ ≈2.449）

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22. 如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．

(1)、求楼间距AB；

(2)、若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

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23. 如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．

(1)、求灯杆CD的高度；

(2)、求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sqrt{3}$ =1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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24. 如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 $\sqrt{2}$ 海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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25. 阅读材料，回答问题：
小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= $\sqrt{3}$ ，AB=c=2，那么 $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ 的关系．

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

(1)、如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ ”的关系是否成立？

(2)、完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）．

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