北京市房山区2018-2019学年八年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-14 类型：期中考试

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一、选择题

1. 25的算术平方根是（）

A、5 B、 C、 D、 $\sqrt{5}$

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2. 下列实数中，是无理数的是（）

A、 B、 C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\sqrt[3]{- 8}$

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3. 若 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 下列根式中属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 C、 D、

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5. 分式 $- \frac{1}{1 - x}$ 可变形为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列分式中，是最简分式的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列各式中，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 下列计算中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 一个正方形的面积是10，估计它的边长大小在（）

A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间

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10. 定义运算 $\frac{\overset{p}{-}}{\bar{q}} = \frac{p - 1}{q - 1}$ ，若p≠1，q≠1，则下列等式中不正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 使分式 $\frac{1}{x - 3}$ 有意义的x的取值范围是．

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12. 若分式 $\frac{2 x - 4}{x + 1}$ 的值为零，则x的值为．

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13. 计算： $\frac{x^{2}}{y} \cdot \frac{y}{x}$ =

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14. 若实数x，y满足 $\sqrt{x - 3}$ +|y+2|=0，则x+y的值为．

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15. 能使等式 $\sqrt{\frac{x}{x - 2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}}$ 成立的x的取值范围是．

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16. 比较大小： $2 \sqrt{3}$ $3 \sqrt{2}$ ．（填“＞、＜、或=”）

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17. 请你写出一个值恒为负数的分式．

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18. 如图，正方形ABCD被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是18cm²和10cm² ，那么两个长方形的面积和为cm² ．

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19. 观察下列各式：
① $\sqrt{2 - \frac{2}{5}}$ = $\sqrt{\frac{8}{5}}$ =2 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ ；② $\sqrt{3 - \frac{3}{10}}$ = $\sqrt{\frac{27}{10}}$ =3 $\sqrt{\frac{3}{10}}$ ；③ $\sqrt{4 - \frac{4}{17}}$ = $\sqrt{\frac{64}{17}}$ =4 $\sqrt{\frac{4}{17}}$

根据你发现的规律填空： $\sqrt{5 - \frac{5}{26}}$ =； $\sqrt{n - \frac{n}{n^{2} + 1}}$ =（n≥2，n为自然数）．

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20. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是 $\sqrt{2}$ ，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做．

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三、计算题

21. 计算：

(1)、（π-3）⁰+ $\sqrt[3]{- 8} + \sqrt{8}$

(2)、 $(3 \sqrt{5} + 1) (2 \sqrt{3} - \sqrt{15})$

(3)、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} y} \cdot \frac{x y}{x + y}$

(4)、 $\frac{4}{m^{2} - 4} - \frac{1}{m - 2}$

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22. 计算：

(1)、 $(a - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a}$

(2)、 $(\sqrt{48} - 4 \sqrt{0.5}) - (3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{50})$

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23. 解方程：

(1)、3（x-1）³=24；

(2)、 $\frac{x}{x + 2}$ -1= $\frac{1}{x - 2}$ ．

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24. 已知 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 的解为正数，求m的取值范围．
关于这道题，有位同学作出如下解答：

解：去分母得，x-2（x-3）=m，

化简，得-x=m-6，

故x=-m+6．

要使方程的根为正数，必须-m+6＞0，

得m＜6．

所以，当m＜6时，方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 的解是正数．

(1)、写出第一步变形的依据．

(2)、上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误请说明其余每一步解法的依据．

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25. 阅读材料：
学习了无理数后，小航用这样的方法估算 $\sqrt{6}$ 的近似值：

由于 $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$ ，不妨设 $\sqrt{6}$ =2+k（ $\sqrt{6}$ =2+k），

所以 ${(\sqrt{6})}^{2} = {(2 + k)}^{2}$ ，可得6=4+4k+k² ．

由 $\sqrt{6}$ =2+k可知0＜k²＜1，所以6≈4+4k，

解得k≈ $\frac{1}{2}$ ，则 $\sqrt{6} \approx 2 + \frac{1}{2}$ ≈2.50．

依照小航的方法解决下列问题：

(1)、估算 $\sqrt{13}$ 的值．

(2)、已知非负整数a、b、m，若a＜ $\sqrt{m}$ ＜a+1，且m=a²+b，则 $\sqrt{m}$ ≈ ．（用含a、b的代数式表示）

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26. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ，则 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 是“和谐分式”．

(1)、下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；
① $\frac{x + 1}{x}$ ；② $\frac{2 + x}{2}$ ；③ $\frac{x + 2}{x + 1}$ ；④ $\frac{y^{2} + 1}{y^{2}}$

(2)、将“和谐分式” $\frac{a^{2} - 2 a + 3}{a - 1}$ 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： $\frac{a^{2} - 2 a + 3}{a - 1}$ =；

(3)、应用：先化简 $\frac{3 x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x}$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．

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四、解答题

27. 列方程解应用题：
2018年10月23日上午，港珠澳大桥开通仪式在广东珠海举行．国家主席习近平出席仪式并宣布大桥正式开通．港珠澳大桥跨越伶仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约55公里，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程，也是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道．据统计，港珠澳大桥开通后的首个周日经大桥往来三地的车流量超过3000辆次，客流量则接近7.8万人次．当天，甲乙两辆巴士均从香港国际机场附近的香港口岸人工岛出发，开往珠海洪湾．甲巴士出发11分钟后乙巴士才出发，结果两车同时到达，已知两辆巴士的速度比是5：6，求两车的平均速度各是多少？

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28. 已知|2018-m|+ $\sqrt{m - 2019}$ =m，求m-2018²的值．

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