重庆市南川三校联考2018-2019学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线的方程为 $x - y - 6 = 0$ ，则该直线的倾斜角为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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2. 已知点 $P (2 ， 3)$ 点 $Q (1 ， 4)$ ，则 $| P Q |$ 为 $($ $)$

A、4 B、2 C、 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 直线 $2 x - y + 3 = 0$ 与直线 $x + 2 y - 5 = 0$ 的位置关系是 $($ $)$

A、平行 B、垂直 C、重合 D、相交但不垂直

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4. 如图，甲、乙、丙所示是三个立体图形的三视图，与甲乙丙相对应的标号是 $($ $)$
$①$ 长方体 $②$ 圆锥 $③$ 三棱锥 $④$ 圆柱

A、 B、 C、 D、

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5. 已知球的表面积为 $36 π$ ，则该球的体积为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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6. 若点 $P (2 ， 1)$ 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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7. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 1 = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系是 $($ $)$

A、相离 B、相交 C、外切 D、内切

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8. 设m，n表示不同的直线， $α$ ， $β$ 表示不同的平面，给出下列命题
$①$ 若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m / / β$ ； $②$ 若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ ； $③$ 若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ 其中错误命题的个数为 $($ $)$

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 已知点A是圆 $C_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 上一点，点B在直线l： $3 x - 4 y - 8 = 0$ 上，则 $| A B |$ 的最小值为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、3

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10. 若直线 $y = k (x - 4)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 有公共点，则k的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，在长方形 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C$ ，E，F分别是 $A B_{1}$ ， $B C_{1}$ 的中点 $.$ 有下列结论：
$① E F ⊥ B B_{1}$ ； $② E F / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ； $③ E F$ 与 $C_{1} D$ 所成角为 $45^{\circ}$ ； $④ E F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ．其中不成立的是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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12. 已知S，A，B，C是球O表面上的点， $S A ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ B C$ ， $S A = A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则球O的体积等于 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 直线 $l_{1}$ ： $x - y = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $3 x - 2 y - 1 = 0$ 的交点坐标为．

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14. 已知一个矩形的长为3，宽为 $2.$ 以该矩形长为3的边为旋转轴旋转一周得到一个封闭几何体，则该几何体的表面积为．

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15. 已知直线 $3 x + 2 y - 1 = 0$ 和直线 $m x + 4 y + 2 = 0$ 互相平行，则它们之间的距离是．

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16. 已知一块正方形薄铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形 $($ 如图 $)$ ，若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则这个无底的圆锥的容积为 $c m^{3}$ ．

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三、解答题

17. 直线l经过点 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 2, 1) .$ 求直线l的点斜式、斜截式、一般式方程．

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18. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线SC垂直于圆O所在的平面，D，E分别是SA，SC的中点．

证明：

(1)、 $D E / /$ 平面ABC

(2)、平面 $S A C ⊥$ 平面SBC

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19. 已知某曲线的方程C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + a = 0$ ．

(1)、若此曲线是圆，求a的取值范围，并指出圆心和半径；

(2)、若 $a = 1$ ，且与直线l： $x - y + 1 = 0$ 相交于M，N两点，求弦长 $| M N |$ ．

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20. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形， $B B_{1} = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $B D_{1} ⊥ A C$ ；

(2)、求三棱锥 $C_{1} - A B_{1} C$ 的体积．

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21. 如图所示，在矩形ABCD中， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $B C = 3.$ 沿对角线将 $△ B C D$ 折起，使点C移到 $C$ 点，且C点在平面ABD的射影O恰在AB上．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面ACD；

(2)、求直线AB与平面 $B C$ D所成角的正弦值．

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22. 已知圆C经过 $P (- 1, 3)$ ， $Q (- 2, 2)$ ，圆心C在直线 $x + y - 1 = 0$ 上，过点 $A (0, 1)$ ，且斜率为k的直线l交圆C于M、N两点．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若O为坐标原点，且 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 12$ ，求直线l的方程．

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