江西省赣州市五校协作体2018-2019学年高三上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 幂函数 $y = f (x)$ 的图像经过点 $(27 ， \frac{1}{3})$ ，则 $f (\frac{1}{8}) =$ （）

A、 B、 C、 $3$ D、

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2. 已知 $a = 3^{0.5}$ ， $b = {log}_{3} 2$ ， $c = cos 2$ ，则（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知集合 $A = {x | x = sin \frac{n π}{3} ， n \in Z}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则集合 $B$ 的个数为（）

A、 $3$ B、 C、 $8$ D、

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4. 函数 $y = a^{x}$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最大值与最小值的和为 $3$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、3 C、 D、 $8$

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5. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列说法正确的是（）

A、函数的图像关于对称 . B、将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍后得到 . C、命题都是假命题，则命题“ ”为真命题. D、，函数都不是偶函数.

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7. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 cos α ， 2)$ 与向量 $\vec{b} = (3 ， - 4 sin α)$ 平行，则锐角 $α$ 等于（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x - 1) > 0$ 的解集是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 2 x^{2} + x + c$ 在 $R$ 上有极值点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在 $R t Δ A B C$ 中，点 $D$ 为斜边 $B C$ 的中点， $| \vec{A B} | = 6 \sqrt{2}$ ， $| \vec{A C} | = 6$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{E D}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{E B} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | 2^{x} - 1 | ， x < 2 \\ \frac{3}{x - 1} ， x \geq 2 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有三个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 $(0, 3)$ C、 $(0, 2)$ D、

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12. 定义在 $R$ 函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ， $f (x) = - f (x + 2)$ 且 $x \in (- 1 ， 0)$ 时， $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{5}$ ，则 $f ({log}_{2} 20) =$ （）

A、 B、 $\frac{4}{5}$ C、 D、

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二、填空题

13. 命题“∃x∈R，x²+2x+2≤0”的否定是．

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14. 已知单位向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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15. 已知角 $α$ 终边上有一点 $P (1 ， 2)$ ，则 $\frac{sin (2 π - α) - sin (\frac{π}{2} - α)}{cos (\frac{3 π}{2} + α) + cos (π - α)} =$ .

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16. 在 $Δ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3} ， b = 4 ， a = 2 \sqrt{3}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积等于_。

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0}$ ，集合 $B = {x | (x - 3) (2 - x) \geq 0}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap^{} B ， A \cup^{} B$ ；

(2)、设 $a > 0$ ，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 sin x sin (x + \frac{π}{6}) .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调增区间；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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19. 在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边, 已知 $sin {}^{2}B + {sin}^{2} C = {sin}^{2} A + \frac{6}{5} sin B sin C$

(1)、求 $cos A$ 值；

(2)、若 $sin B = 2 sin C$ ,且 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{16}{5}$ ，试求边长 $a$ 的长.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c$ 为奇函数，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x - 6 y - 7 = 0$ 垂直，导函数 $f^{'} (x)$ 的最小值为 $- 12$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的单调增区间、极值、最值.

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21. 在 $Δ A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边.向量 $\vec{m} = (cos \frac{C}{2} ， sin \frac{C}{2})$ ， $\vec{n} = (cos \frac{C}{2} ， - sin \frac{C}{2})$ ，且 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、已知 $c = 3$ ， $Δ A B C$ 的面积 $S = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + 2 x - ln x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{3} ， 2]$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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