湖北省部分重点中学2018-2019学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数z满足 $z i = 1 + 2 i$ ，则z的共轭复数的虚部为 $($ $)$

A、i B、 C、 D、1

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2. 函数f（x）=x^a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log_a（x+1）|的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知集合 $A = {x | \frac{2}{x + 1} \leq 1}$ ， $B = {x | 2^{x} < 1}$ ，则 $(∁_{R} A$ $) \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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4. 设函数 $f (x) = x (x + k) (x + 2 k) (x - 3 k)$ ，且 $f^{'} (0) = 6$ ，则k=（）

A、0 B、-1 C、3 D、-6

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项都是正数，且 $3 a_{1} ， \frac{1}{2} a_{3} ， 2 a_{2}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{8} + a_{9}}{a_{6} + a_{7}} =$

A、 B、 C、 $8$ D、

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6. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 在向量 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影为 $- 1$ ，向量 $\overset{⇀}{b}$ 在向量 $\overset{⇀}{a}$ 方向上的投影为 $- \frac{1}{2}$ ，且 $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、2 D、12

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7. 在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有四个.类似的：在立体几何中，与正四面体的六条棱所在直线的距离相等的点（）

A、有且只有一个 B、有且只有三个 C、有且只有四个 D、有且只有五个

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8. 下列四个结论：
$①$ 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， ${sinx}_{0} + {cosx}_{0} < 1$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $sinx + cosx \geq 1$ ”； $②$ 若 $p \land q$ 是真命题，则 $￢ p$ 可能是真命题； $③$ “ $a > 5$ 且 $b > - 5$ ”是“ $a + b > 0$ ”的充要条件； $④ x \in R$ ，都有 $1 + {log}_{2} (x^{2} - x + 1) > 0$ ．其中正确的是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $A$ 是函数 $f (x) = sin (2018 x + \frac{π}{6}) + cos (2018 x - \frac{π}{3})$ 的最大值，若存在实数 $x_{1} ， x_{2}$ 使得对任意实数 $x$ 总有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 成立，则 $A \cdot | x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $△ A B C$ 的一内角 $A = \frac{π}{3}$ ， $| A B | = 3$ ， $| A C | = 2$ ， $B C$ 边上的中垂线 $D E$ 交 $B C$ 、 $A B$ 分别于 $D$ 、 $E$ 两点，则 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{C E}$ 值为（）

A、 B、 $\frac{7}{4}$ C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x}$ ，若 $x ， y$ 满足 $f (x) + f (- \frac{1}{2} y) \geq 0$ ，则 $\frac{y}{x + 3}$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、(-1，1) D、[-1，1]

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12. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x (f^{'} (x) - ln x)$ ，且 $f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$ ，则 $e f (e^{x}) < f^{'} (\frac{1}{e}) + 1$ 的解集为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 若 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 = 0}$ ， $B = {x | a x - 2 = 0}$ ，且 $A \cap^{} B = B$ ，则由实数a组成的集合 $C =$

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14. 已知函数 $f (x) = s i n x + c o s x$ ， $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若 $f' (x_{0}) = 2 f (x_{0})$ ，则 $\frac{1 + s i n^{2} x_{0}}{c o s^{2} x_{0} - s i n 2 x_{0}} =$ ．

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15. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，若 $\frac{2 y}{x} + \frac{8 x}{y} > m^{2} + 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3^{| x |} - 1 ， - 1 \leq x \leq 1 \\ - \frac{3}{2} x^{2} + 6 x - 4 ， x > 1 \end{matrix}$ ，实数 $a ， b ， c ， d \in [- 1 ， + \infty)$ 且 $a < b < c < d$ ，满足 $f (a) = f (b) = f (c) = f (d)$ ，则 $lg (- a) - lg b + 4^{c} + 2^{6 - d}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = {cos}^{2} x + \sqrt{3} sin x cos x + 1 ， x \in R$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和最值

(2)、设 $α \in (\frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ ，且 $f (α + \frac{π}{12}) = \frac{21}{10} ，$ 求 $cos (2 α + \frac{π}{12})$ 的值。

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前三项与数列 ${b_{n}}$ 的前三项对应相等，且 $a_{1} + 2 a_{2} + 2^{2} a_{3} + \dots + 2^{n - 1} a_{n} = 8 n$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 都成立，数列 ${b_{n + 1} - b_{n}}$ 是等差数列 $.$ 求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式．

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19. 已知函数 $f (x) = M sin (ω x + φ) (M > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，其中 $P$ 、 $Q$ 分别为函数 $f (x)$ 的一个最高点和最低点， $P$ 、 $Q$ 两点的横坐标分别为 $1 ， 4$ ，且 $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q} = 0$ ．

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且满足 $a^{2} = 3 b^{2} + 3 c^{2} - 2 \sqrt{3} b c sin A$ ，求 $f (\frac{3 A}{π})$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{2} - a x (a$ 为常数 $)$ ．

(1)、若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，求此时函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意的 $a \in (1 ， 2)$ ， $x_{0} \in [1 ， 2]$ ，不等式 $f (x_{0}) > m l n a$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} - 2 S_{n} = 1$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{b_{n}}{2} + \frac{1}{a_{n + 1}}$ ．
① 求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

② 是否存在正整数n，使得 $\sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 4 - n$ 成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = p x - \frac{p}{x} - 2 ln x$ .

(1)、若 $p = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线；

(2)、若函数 $f (x)$ 在其定义域内为增函数，求正实数 $p$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = \frac{2 e}{x}$ ，若在 $[1 ， e]$ 上至少存在一点 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) > g (x_{0})$ 成立，求实数 $p$ 的取值范围.

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