河南省名校联盟尖子生2018-2019学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {y | y \geq 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 若在复平面内，复数 $z = \frac{3 + m i}{6 - i} (m \in R)$ 所对应的点落在直线 $y = x$ 上，则 $m = ($ $)$

A、 B、 C、 D、

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3. 《九章算术》中第七卷“盈不足”问题中有这样一则：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日加倍．若第n天（n∈R）蒲、莞的长度相等，则第[n]天蒲长了（）尺．（其中[n]表示不超过n的最大整数）

A、2 B、 C、1 D、

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4. 运行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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5. 已知命题p： $4 > 3^{ln 2}$ ；命题q： $\forall a$ ， $b \in (0 ， + \infty)$ ， $(2 a + b) (\frac{1}{a} + \frac{2}{b}) \geq 16$ ，则下列命题中的真命题是 $($ $)$

A、q B、 C、 D、

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6. 如图所示， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，且 $A B = A C$ ，E为BC边上的中点， $△ A D E$ 与 $△ A E F$ 为等边三角形，点M是线段AB与线段DE的交点，点N是线段 $. A C$ 与线段EF的交点，若往 $△ A B C$ 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为 $($ $)$ 参考数据： $sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ， $sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

A、 B、 C、 D、

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7. 已知某几何体的三视图如下图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两点，它们之间的距离不可能为（）

A、 B、 C、2 D、

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} － \frac{y^{2}}{b^{2}} ＝ 1$ （a＞b＞0）的两条渐近线与圆O：x²＋y²＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 y＝± x B、 y＝± x C、 y＝± x D、 y＝± x

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9. 已知函数f（x）＝ $3^{| x － k － 1 |}$ ＋cosx的图象关于y轴对称，若函数g（x）恒满足g（k＋x）＋g（3－x）＋2＝0，则函数g（x）的图象的对称中心为（）

A、（1，1） B、（2，－1） C、（2，1） D、（1，－1）

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10. 已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x (ω > 0)$ ，若有且仅有两个不同的实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 2.$ 则实数 $ω$ 的值不可能为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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11. 如图所示，A₁ ， A₂是椭圆C： $\frac{x^{2}}{18} ＋ \frac{y^{2}}{9} ＝ 1$ 的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A₁ ， A₂重合，点N满足NA₁⊥MA₁ ， NA₂⊥MA₂ ，则 $\frac{S_{Δ M A_{1} A_{2}}}{S_{Δ N A_{1} A_{2}}}$ ＝（）

A、2 B、3 C、4 D、

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $x (x - m e^{x}) > m e^{x}$ 有且仅有两个正整数解（其中e＝2.71828… 为自然对数的底数），则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、（， ] B、（， ] C、 [ ，） D、 [ ，）

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 间的夹角为 $\frac{5}{6} π$ ，若 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{6}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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14. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x － y \leq 5 ， \\ x ＋ y \geq 0 ， \\ 3 x － 4 y \geq 0 ， \end{matrix}$ 则z＝x－2y的最大值为．

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15. ${(x - \frac{2}{3} \sqrt{x})}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 项的系数为．

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16. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B \cdot B C \cdot cos B = 4$ ， $| \vec{B C} - \vec{B A} | = 3 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知△ABC中，B＝ $\frac{π}{3}$ ，AB＝4．

(1)、若 $\overset{⇀}{B D}$ ＝ $\frac{1}{2}$ $\overset{⇀}{D C}$ ，AD＝ $\sqrt{3}$ BD，求BC的长；

(2)、若AC＝6，求sinC、sin∠BAC的值．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{5} = 5$ ， $S_{19} = 190.$ 首项为1的数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{2 b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及其前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如图所示：

并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如表所示：

	愿意购买该款电视机	不愿意购买该款电视机	总计
40岁以上	______	______	1000
40岁以下	______	600	______
总计	1200	______	______

(1)、根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；

(2)、

\bar{x} = 2 \times 0.2 + 6 \times 0.36 + 10 \times 0.28 + 14 \times 0.12 + 18 \times 0.04 = 0.4 + 2.16 + 2.8 + 1.68 + 0.72 = 7.76

根据表中数据，判断是否有

99.9 %

的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；

(3)、用频率估计概率，若在该电视机的生产线上随机抽取4台，记其中使用时间不低于4年的电视机的台数为X，求X的分布列及期望．

$P (K^{2} \geq k)$	$0.100$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
k	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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20. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $B D = B C = 2 A D$ ，点E为CD的中点，且 $S B ⊥ A E$ ．

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面SBD；

(2)、若 $∠ S B D = ∠ S D B$ ，SC与平面ABCD所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求直线SB与平面SCD所成角的正弦值．

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21. 已知抛物线C：x²＝2y，过点（－2，4）且斜率为k的直线l与抛物线C相交于M，N两点．

(1)、若k＝2，求｜MN｜的值；

(2)、记直线l₁：x－y＝0与直线l₂：x＋y－4＝0的交点为A，求k_AM·k_AN的值．

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{2} sin x + m ln x + 1$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处切线的斜率；

(2)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明： $\frac{x_{1} x_{2}}{4 m^{2}} < 1$ ．

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