山东省邹城市2018-2019学年高三上学期文数期中质量监测试卷

试卷更新日期：2019-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 设向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 D、 $- 2$

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3. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{x}$ ，则 $f (ln \frac{1}{2})$ =（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{5}$ 的等差中项，则 $a_{2018}$ 的值为（）

A、或 $- 1$ B、或 $- 2$ C、 D、

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5. 已知 $a = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $b = {log}_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$ ， $c = {log}_{2} \frac{1}{2}$ ，则有（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $θ$ 是 $△ A B C$ 的一个内角，且 $\sin θ \cos θ = - \frac{1}{8}$ ，则 $\sin (2 π + θ) - \sin (\frac{π}{2} - θ)$ 的值为（）

A、 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 D、

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7. 下列四个结论：
①命题“ $\exists x_{0} \in R, sin x_{0} + cos x_{0} < 1$ ”的否定是“ $\forall x \in R, sin x + cos x \geq 1$ ”；②若 $p \land q$ 是真命题，则 $\neg p$ 可能是真命题；③“ $a > 5$ 且 $b > - 5$ ”是“ $a + b > 0$ ”的充要条件；④当 $α < 0$ 时，幂函数 $y = x^{α}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减.其中正确的是（）

A、①③ B、②④ C、①④ D、②③

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8. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $9 x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是（）

A、 $10$ B、 $12$ C、 D、

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9. 函数 $y = \frac{sin x}{ln | x |}$ （ $x \neq 0$ ）的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $x ， y \in R$ ，且 ${\begin{matrix} y \leq 4 ， \\ x - y + 1 \leq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、 B、 $- 2$ C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 12 ， ω \in N ， 0 < φ < π)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，且在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上不单调，则 $ω$ 的可能值有（）

A、个 B、个 C、 $8$ 个 D、个

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 - e^{x} ， x \leq 0 ， \\ x^{2} - 2 x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 有两个不同的零点，则 $m$ 的取值范围（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 函数 $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} (2 x - 1)}$ 的定义域为.

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14. 观察下列各式：
$1^{2} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6}$

$1^{2} + 2^{2} = \frac{2 \times 3 \times 5}{6}$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{3} = \frac{3 \times 4 \times 7}{6}$

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = \frac{4 \times 5 \times 9}{6}$

……

照此规律，当 $n \in N^{*}$ 时， $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} =$ .

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15. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}$ , $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 3$ , $| \overset{⇀}{b} | = 2$ , $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $120 °$ ,若 $(\overset{⇀}{a} + m \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ,则实数 $m$ 的值为.

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于 $A$ 点，它的终边与单位圆相交于 $x$ 轴上方一点 $B$ ，始边不动，终边在运动.若 $α \in [0 ， \frac{2 π}{3}]$ ，则弓形 $A B$ 的面积 $S$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知 $O$ 为坐标原点， $\overset{⇀}{O A} = (2 \cos^{2} x ， 1)$ ， $\overset{⇀}{O B} = (1 ， \sqrt{3} sin 2 x + a)$ $(x \in R ， a \in R 且 a 为常数)$ ，若 $f (x) = \overset{⇀}{O A} • \overset{⇀}{O B}$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $2$ ，求实数 $a$ 的值.

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18. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} > 0$ ， $a_{n}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} + 3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 设 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $(\sin A + \sin B) (a - b) = (\sin C -$ $\sin B) c$ .
（Ⅰ）求内角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）若 $a = 4$ ，试求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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20. 设函数 $f (x) = | x - a | + 3 x$ ，其中 $a < 0$ .
（Ⅰ）当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3 x + 2$ 的解集；

（Ⅱ）若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集 ${x | x \geq - 1}$ ，求实数 $a$ 的值.

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21. 山东省于2015年设立了水下考古研究中心，以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作；水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆。为对刘公岛周边海域水底情况进行详细了解，然后再选择合适的时机下水探摸、打捞，省水下考古中心在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水 $50$ 米到水底进行考古作业，其用氧量包含以下三个方面：
①下潜平均速度为 $x$ 米/分钟，每分钟的用氧量为 $\frac{1}{100} x^{2}$ 升；

②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.4升；

③返回水面时，平均速度为 $\frac{1}{2} x$ 米/分钟，每分钟用氧量为0.32升.

潜水员在此次考古活动中的总用氧量为 $y$ 升.

（Ⅰ）如果水底作业时间是 $15$ 分钟，将 $y$ 表示为 $x$ 的函数；

（Ⅱ）若 $x \in [6 ， 12]$ ，水底作业时间为20分钟，求总用氧量 $y$ 的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} (a x + 1)$ ( $a$ 为常数， $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数),若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处切线的斜率为 $3 e$ .
（Ⅰ）求实数 $a$ 的值；

（Ⅱ）令 $g (x) = k f (x) - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ ，试讨论函数 $g (x)$ 的单调性.

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