山东省邹城市2018-2019学年高三上学期理数期中质量监测试卷

试卷更新日期：2019-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x |lg x \leq 0}$ ， $B = {x | 2^{x} \leq 1}$ ，则 $A \cup^{} B$ =（）

A、 B、 C、 D、

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2. 函数 $y = \sqrt{{log}_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1)}$ 的定义域为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 设 $θ \in R$ ，则“ $cos θ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”是“ $tan θ = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $a = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $b = {log}_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$ ， $c = {log}_{2} \frac{1}{2}$ ，则有（）

A、 B、 C、 D、

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5. 定积分 $\int_{1}^{3} (2 x - \frac{1}{x}) d x$ =（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $(\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b}) \cdot (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) = - 2$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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7. 已知命题 $p ：$ 存在实数 $α ， β$ ，满足 $\sin (α + β) = \sin α + \sin β$ ；
命题 $q$ ： ${log}_{a} 2 + {log}_{2} a \geq 2$ ( $a > 0 且 a \neq 1$ ).

则下列命题为真命题的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A ， ω ， φ$ 是常数， $A > 0 ， ω > 0$ ），且函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则有（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下图是函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 的部分图象，则函数 $g (x) = ln x + f' (x)$ 的零点所在的区间是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $x ， y \in R$ ，且 ${\begin{matrix} y \leq 4 ， \\ x - y + 1 \leq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心， $| \overset{⇀}{A B} | = 4$ ， $| \overset{⇀}{A C} | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{A O} \cdot (\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C}) =$ （）

A、 $8$ B、 C、 D、

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12. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = ln x + 3$ 的切线，也是曲线 $y = ln (x + 2)$ 的切线，则实数 $b$ 的值是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 2) ， \overset{⇀}{b} = (2 ， - 2) ， \overset{⇀}{c} = (1 ， λ)$ 若 $\overset{⇀}{c} ∥ (2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $λ =$ ．

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14. 设当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = cos x - 2 sin x$ 取得最大值，则 $\cos θ =$ .

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15. 观察下列各式：
$1^{3} = 1^{2}$

$1^{3} + 2^{3} = 3^{2}$

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 6^{2}$

… … …

照此规律，则第 $n$ 个等式应为.

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，其导函数为 $f' (x)$ ，且当 $x < 0$ 时， $2 f (x) + x f' (x) < 0$ ，则不等式 ${(x - 2018)}^{2} f (x - 2018) - f (- 1) < 0$ 的解集为.

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三、解答题

17. 设命题 $p ：$ 函数 $f (x) = x^{3} - m x - 1$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上单调递减；命题 $q ：$ 函数 $y = ln (x^{2} + 2 m x + 1)$ 的值域是 $R$ .如果命题 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (sin x ， 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2 ， cos x)$ .
（Ⅰ）若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $tan 2 x$ 的值；

（Ⅱ）令 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，把函数 $f (x)$ 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，试求函数 $y = g (x)$ 的单调增区间及图象的对称中心.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对应的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $b = 6 ， c = 4 ， B = 2 C$ .
（Ⅰ）求 $\cos C$ 的值；

（Ⅱ）试求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 已知函数 $f (x) = m - | x - 3 |$ ，不等式 $f (x) > 2$ 的解集为 $(1 ， 5)$ .
（Ⅰ）求实数 $m$ 的值；

（Ⅱ）若关于 $x$ 的不等式 $| x + a | \geq f (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 山东省于2015年设立了水下考古研究中心，以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作；水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆。为对刘公岛周边海域水底情况进行详细了解，然后再选择合适的时机下水探摸、打捞，省水下考古中心在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水 $50$ 米到水底进行考古作业，其用氧量包含以下三个方面：
①下潜平均速度为 $x$ 米/分钟，每分钟的用氧量为 $\frac{1}{100} x^{2}$ 升；

②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.4升；

③返回水面时，平均速度为 $\frac{1}{2} x$ 米/分钟，每分钟用氧量为0.32升.

潜水员在此次考古活动中的总用氧量为 $y$ 升.

（Ⅰ）如果水底作业时间是 $15$ 分钟，将 $y$ 表示为 $x$ 的函数；

（Ⅱ）若 $x \in [6 ， 12]$ ，水底作业时间为20分钟，求总用氧量 $y$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} x^{2} - b x$ ，函数 $f (x) = x + a ln x$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线与直线 $2 x - y + 3 = 0$ 平行.
（Ⅰ）求实数 $a$ 的值；

（Ⅱ）若函数 $g (x)$ 存在单调递减区间，求实数 $b$ 的取值范围；

（Ⅲ）设 $x_{1} ， x_{2}$ ( $x_{1} < x_{2}$ )是函数 $g (x)$ 的两个极值点，若 $b \geq \frac{7}{2}$ ，试求 $g (x_{1}) - g (x_{2})$ 的最小值.

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