山东省烟台市2018-2019学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式中正确的是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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2. 数列 $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{3}{4}$ ， $\frac{5}{6}$ ， $- \frac{7}{8}$ ， $\dots$ 的第14项是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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3. 不等式 $\frac{2 x + 1}{x - 3} \geq - 1$ 的解集为 $($ $)$

A、 B、或 C、 D、或

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4. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{4} + a_{7} + a_{10} = 27$ ，则 $S_{13} = ($ $)$

A、52 B、78 C、117 D、208

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5. 已知函数 $f (x) = (1 + x - x^{2}) e^{x}$ ， $x \in R$ ，e为自然对数的底数，则函数 $f (x)$ 的增区间为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、，

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6. 在我国古代著名的数学专著 $《$ 九章算术 $》$ 里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢 $.$ 问：几日相逢？ $($ $)$

A、4日 B、3日 C、5日 D、6日

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7. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 1$ ， $a_{3}$ 与 $\frac{2}{3} a_{4}$ 的等差中项为 $\frac{9}{2}$ ，则 $a_{1}$ 的值为 $($ $)$

A、 B、 C、3 D、1

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - a x^{2} + 4 x$ 在区间 $(- 2 ， - 1)$ 内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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9. 设等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 12$ ， $a_{1} - a_{3} = 6$ ，则 $a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n}$ 的最大值为 $($ $)$

A、32 B、128 C、64 D、256

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10. 设 $a = \frac{ln 2}{2}$ ， $b = \frac{ln 3}{3}$ ， $c = \frac{1}{e}$ ，则 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (2 m - 1) x + 1 - m$ ，若对任意 $m \in [- 1 ， 0]$ ，都有 $f (x) > 0$ 成立，则实数x的取值范围为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - k (\frac{1}{x} + ln x)$ 有两个极值点，则实数k的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是米 $.$

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14. 正数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$ ，若不等式 $a + b \geq - x^{2} + 4 x + 13 - m$ 对 $x \in R$ 恒成立，则实数m的取值范围为．

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15. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{n} = 2^{n - 1}$ ，若 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}}$ ，则 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} =$ ．

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三、解答题

16. 解关于x的不等式 $\frac{k x^{2}}{k x + 3} > x (k \in R)$ ．

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17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的各项为正数，其公差为1， $a_{2} \cdot a_{4} = 5 a_{3} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n} - 2} + 2 n - 1$ ，求 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{10}$ ．

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18. 自2017年，大连“蜗享出行”正式引领共享汽车，改变人们传统的出行理念，给市民出行带来了诸多便利 $.$ 该公司购买了一批汽车投放到市场给市民使用 $.$ 据市场分析，每辆汽车的营运累计收入 $f (x) ($ 单位：元 $)$ 与营运天数 $x (x \in N *)$ 满足 $f (x) = - 7 x^{2} + 350 x - 2800$ ．

(1)、要使营运累计收入高于1400元求营运天数的取值范围；

(2)、每辆汽车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？

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19. 设函数 $f (x) = x^{2} + a x - b ln x$ ，若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处与直线 $y = 2$ 相切．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求实数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = 3 a_{n} - 4 n (n \in N *)$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 2}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{{log}_{3} (a_{n} + 2)}{a_{n} + 2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = ln x$ ， $g (x) = x^{2} - 1$ ．

(1)、求证：函数 $h (x) = f (x) + \frac{g (x)}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上只有一个零点；

(2)、若当 $x \geq 1$ ，不等式 $2 x f (x) \leq m g (x)$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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