山东省泰安市2018-2019学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ，$ 0， $1}$ ， $B = {x | 1 \leq 2^{x} < 4}$ ，则 $A \cap^{} B$ 等于 $($ $)$

A、 B、 C、 D、 0，

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2. 下列函数中是偶函数，且在区间(0，+ $\infty$ )上是减函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知命题p：对任意 $x \in R$ ，总有 $2^{x} > 0$ ，q：“ $x > 1$ ”是“ $x > 2$ ”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点P( $sin 47^{0} ， cos 47^{0}$ )，则sin( $α - 13^{0}$ )=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 D、

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5. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，其前n项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件 $a_{1} > 1$ ， $a_{7} \cdot a_{8} > 1$ ， $\frac{a_{7} - 1}{a_{8} - 1} < 0.$ 给出下列结论： $(1) 0 < q < 1$ ， $(2) a_{7} \cdot a_{9} > 1$ ， $(3) T_{n}$ 的最大值为 $T_{7}$ ，其中正确结论的个数为 $($ $)$

A、3 B、2 C、1 D、0

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6. 已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x$ ，则下列说法正确的是 $($ $)$

A、的最小正周期为 B、的图象关于直线对称 C、的图象关于点对称 D、在区间上是增函数

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7. 设 $x \in R$ ，向量 $\vec{m} = (x ， 1)$ ， $\vec{n} = (4 ， - 2)$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $| \vec{m} + \vec{n} | =$ （）

A、 B、 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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8. 已知 $f (x)$ 是偶函数， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ ( $x \in R$ )的导函数，若 $x > 0$ 时 $f^{'} (x)$ >0，则（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图象如图所示，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、 B、 C、 D、 $- \sqrt{2}$

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10. 函数 $f (x) = 2 x - 4 sin x$ ， $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，在△ABC中，设 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{b}$ ，AP的中点为Q，BQ的中点R，CR的中点为P，若 $\overset{⇀}{A P} = m \overset{⇀}{a} + n \overset{⇀}{b}$ ，则m ， n对应的值为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x - 1) (x \in R)$ 是偶函数，且函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 成中心对称，当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = x - 1$ ，则 $f (2019) = ($ $)$

A、 $- 2$ B、 C、0 D、2

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二、填空题

13. 圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为．

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14. 曲线 $y = \sqrt{x}$ 与直线 $y = 2 x - 1$ 及 $x$ 轴所围成的封闭图形的面积为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}$ =1， $a_{n} - a_{n + 1} = 2 a_{n} a_{n + 1}$ ，则 $a_{n}$ = ．

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16. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x}{x^{2} + 1} ， x \geq 0 \\ - \frac{1}{x} ， x < 0 \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - t$ 有三个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $- \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ 的值；

(2)、若不等式 $| \vec{a} + x \vec{b} | \geq | \vec{a} + \vec{b} |$ 对一切实数x恒成立，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的大小．

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18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a}{cos A} = \frac{2 c - b}{cos B}$ ．
(Ⅰ)求∠A的大小；

(Ⅱ)若 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $S_{Δ ABC} = 6 \sqrt{3}$ ，求 $b, c$ 的值

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x cos ω x + {sin}^{2} ω x - \frac{1}{2} (0 < ω \leq 2)$ ，图像的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ ．
(I)求 $f (x)$ ；

(II)将函数 $f (x)$ 的图像上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，若 $sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，求 $g (α)$ 的值．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{5} - a_{3} = 4$ ， $S_{5} = 35$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = a_{3} + 1$ ， $b_{3} = a_{7} + 1$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

$($ Ⅱ $)$ 求 $a_{2} b_{1} + a_{3} b_{2} + \dots + a_{n + 1} b_{n}$ 的值．

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21. 如图，AOB是一块半径为r的扇形空地， $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ．某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE及一矩形停车场EFGH，剩余的地方进行绿化．若 $∠ BOG = \frac{π}{6}$ ，设 $∠ A O D = θ$

(Ⅰ)记活动场地与停车场占地总面积为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的表达式；

(Ⅱ)当 $cos θ$ 为何值时，可使活动场地与停车场占地总面积最大．

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22. 已知函数 $f (x) = ln x + m x^{2} + n x + 1$ 的图像在 $x = 1$ 处的切线过点 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ ．
(Ⅰ)讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(Ⅱ)若函数 $g (x) = - f (x) + x + 1 (m > 0)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．

证明： $g (x_{1}) + g (x_{2}) > 3 - 2 ln 2$ ．

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