山东省日照市2018-2019学年高三上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设命题p： $\forall x$ >0，均有 $2^{x} > 1 ，$ 则 $\neg p$ 为（）

A、 >0，均有 B、使得 C、 <0，均有 D、使得

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2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 集合 $M = {x | | x - 1 | < 2 ， x \in N} ， P = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $M \cap^{} P =$ （）

A、 B、 C、 D、

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4. 设向量 $\overset{⇀}{a}$ $= (x - 1, 1)$ ， $\overset{⇀}{b}$ $= (3, x + 1)$ ，则 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ 是 $x = 2$ 的（）

A、充分不必要条件 B、充分必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{x} ， (x \geq 0) \\ \sqrt{- x} ， (x < 0) \end{matrix}$ ，若 $f (a) + f (- 1) = 2$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、 C、 D、

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6. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

A、6升 B、8升 C、10升 D、12升

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7. 已知 $a = 2^{1.2} ， b = {(\frac{1}{2})}^{- 0.2} ， c = 2 {log}_{5} 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 $1$ 到 $2018$ 这 $2018$ 个数中，能被 $3$ 除余 $1$ 且被 $7$ 除余 $1$ 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则此数列共有（）

A、项 B、项 C、项 D、项

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x - ln x - 1}$ ，则 $y = f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”．已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名．根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）

A、小明 B、小马 C、小红 D、小方

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11. 已知 $sin 2 α = \frac{1}{3}$ ，则 ${cos}^{2} (α - \frac{π}{4})$ （）

A、 B、 C、 $\frac{2}{3}$ D、

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 4 x - x^{2} ， x \geq 0 ， \\ \frac{3}{x} ， x < 0 ， \end{matrix}$ 若函数 $g (x) = | f (x) | - 3 x + b$ 有三个零点，则实数b的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b} ， | \overset{⇀}{a} | = 1 ， | \overset{⇀}{b} | = 2$ ，且 $| 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{10}$ ，则 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} =$ ．

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14. 已知 $a > 0, b > 0$ ，若不等式 $\frac{m}{3 a + b} \leq \frac{3}{a} + \frac{1}{b}$ 恒成立，则m的最大值为．

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15. 已知直线 $y = a$ 与函数 $f (x) = 3^{x}$ 与 $g (x) =$ $5 \times 3^{x}$ 的图象分别交于A，B两点，则线段AB的长度为．

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16. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，且 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x - 1) < 0$ 的解集是．

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三、解答题

17. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $\sqrt{3} a = 2 c sin A$ ．

(1)、求角C；

(2)、若 $a = 5, c = 7$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 2 n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{2 n + 1}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 已知命题p：关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - x - m > 0$ 对任意的x∈[1，2]恒成立；q：函数 $f (x)$ 在R上是增函数， $f (m^{2}) > f (m + 2)$ 成立，若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求实数m的取值范围．

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20. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ $= (sin ω x ， cos ω x)$ ， $\overset{⇀}{b}$ $= (cos ω x ， cos ω x)$ ，其中 $ω > 0$ ，记函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \frac{1}{2}$ ，且最小正周期为 $π$ ；

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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21. 习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系： $W (x) = {\begin{matrix} 5 (x^{2} + 2), 0 \leq x \leq 2, \\ \frac{50 x}{1 + x}, 2 < x \leq 5, \end{matrix}$ 其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为 $f (x)$ (单位：元)．

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?

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22. 已知函数 $f (x) = x ln x$ ， $g (x) = λ (x^{2} - 1)$ （ $λ$ 为常数）．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处有相同的切线，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，且 $x \geq 1$ ，证明： $f (x) \leq g (x)$ ；

(3)、若对任意 $x \in [1 ， + \infty)$ ，不等式恒 $f (x) \leq g (x)$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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