山东日照市2018-2019学年高三上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - 1 〉 0}$ ， $B = {y | y = 3^{x} ， x \in R}$ ，则 $A \cap^{} B = ($ $)$

A、 B、 C、 D、

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2. 命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + a^{2} \geq 0$ ；命题 $q ： \exists x \in R$ ， $sin x + cos x = 2$ ，则下列命题中为真命题的是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2 ， \vec{a} - \vec{b} = (\sqrt{3} ， \sqrt{2}) ，则 | 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 B、 C、 D、 $2 \sqrt{5}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2^{x} - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 C、 D、

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5. 将函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $sin 2 α = \frac{1}{3}$ ，则 ${cos}^{2} (α - \frac{π}{4})$ =（）

A、 B、 C、 $\frac{2}{3}$ D、

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7. 已知 $a > 0 且 a \neq 1 ，则 a^{b} > 1 是 (a - 1) b > 0$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 若 $a = {(\frac{6}{7})}^{- \frac{1}{4}}$ ， $b = {(\frac{7}{6})}^{\frac{1}{5}}$ ， $c = {log}_{2} \frac{7}{8}$ ，定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则 $f (a) ， f (b) ， f (c)$ 的大小顺序为（）

A、 B、 C、 D、

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9. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 $1$ 到 $2018$ 这 $2018$ 个数中，能被 $3$ 除余 $1$ 且被 $7$ 除余 $1$ 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则此数列共有（）

A、项 B、项 C、项 D、项

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10. 函数 $f (x) ＝ ln (\frac{x - sin x}{x + sin x})$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 6 x + 1 ， x \geq 0 ， \\ {(\frac{1}{2})}^{x + 1} ， x < 0 ， \end{matrix} g (x) = | f (x) | - a$ ，若函数 $g (x)$ 恰有4个零点，则实数a的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = 3 sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π) ， f (- \frac{π}{3}) = 0$ ，对x∈R恒有 $f (x) \leq | f (\frac{π}{3}) |$ ，且在区间 $(\frac{π}{15} ， \frac{π}{5})$ 上有且只有一个 $x_{1} 使 f (x_{1}) = 3 ，则 ω$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知点 $A (1 ， 0) ， B (2 ， 1) ，向量 a = (λ ， 2) ，若 a / / \overset{⇀}{A B}$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \leq 5 ， \\ 3 x - 2 y \geq 0 ， \\ x - 2 y + 1 \leq 0 ， \end{matrix} 则 z = 3 x + y$ 的最小值为．

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15. 学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是C作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．

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16. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，且 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x - 1) < 0$ 的解集是．

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三、解答题

17. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $\sqrt{3} a = 2 c sin A$ ．

(1)、求角C；

(2)、若 $a = 5, c = 7$ ，求 $Δ A B C$ 的面积．

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18. 已知函数 $f (x) = k x - \frac{k}{x} - 2 ln x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $2 x + 5 y - 2 = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 为增函数，求实数k的取值范围．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $\frac{1}{a_{2}} ， \frac{1}{a_{4}}$ 是方程 $6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ 的两根．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot 4^{a_{n}}}$ 的前n项和．

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20. 已知 $a > 0 且 a \neq 1 ， f ({log}_{a} x) = \frac{a}{a^{2} - 1} (x - \frac{1}{x})$ ．

(1)、判断函数 $y = f (x)$ 的单调性，并证明；

(2)、若函数 $y = f (x) - 4$ 恰好在 $(- \infty ， 2)$ 上取负值，求a的值．

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21. 习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系： $W (x) = {\begin{matrix} 5 (x^{2} + 2), 0 \leq x \leq 2, \\ \frac{50 x}{1 + x}, 2 < x \leq 5, \end{matrix}$ 其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为 $f (x)$ (单位：元)．

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?

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22. 已知函数 $r (x) = x ln x - a x ， g (x) = - a x^{2} + 2 x - 2$ ．

(1)、证明：当 $a > 1 时， r (x) \geq g (x) 对 x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立；

(2)、若函数 $f (x) = a \cdot \frac{r (x)}{x} + x^{2} + a^{2}$ 恰有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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