山东省青岛市开发区2018-2019学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-05 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y - 3 = 0$ 的倾斜角等于（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 D、

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2. 直线 $l_{1} ： x + y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x - a^{2} y + a = 0$ 互相垂直，则实数 $a$ 的值为（）

A、 B、 C、 D、0

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3. 命题“对任意的 $x \in R$ ”，都有 $e^{x} + ln (x^{2} + 1) \geq 0$ 的否定为（）

A、对任意的，都有 B、不存在，使得 C、存在，使得 D、存在，使得

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4. 圆 $A ： x^{2} + y {}^{2}= 1$ 与圆 $B ： x^{2} - 4 x + y^{2} - 5 = 0$ 的公共点个数为（）

A、0 B、3 C、2 D、1

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5. 设 $a \in R$ ，则“ $a = 3$ ”是“直线 $a x + 2 y + 3 a = 0$ 和直线 $3 x + (a - 1) y = a - 7$ 平行”的（）

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要条件 D、既不充分也不必要

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6. 曲线 $| x | + | y | = 1$ 围成的封闭图形面积为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、4 D、2

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7. 圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 10$ 内过点 $A (a ， 1)$ 的最短弦长为6，则实数 $a$ 的值为（）

A、 B、1 C、2 D、

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8. 已知平面 $α$ 的法向量为 $\overset{⇀}{n} = (2 ， - 2 ， 4)$ ， $\overset{⇀}{A B} = (- 1 ， 1 ， - 2)$ ，则直线 $A B$ 与平面的位置关系为（）

A、 B、 C、 $A B$ 与 $α$ 相交但不垂直 D、

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9. 过点 $(0 ， 4)$ 的直线 $l$ 与 $x^{2} + y^{2} = 4$ 有两个不同的公共点，则直线 $l$ 的倾斜角的范围是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 方程 $x^{2} + y^{2} - a x + 2 y + 1 = 0$ 不能表示圆，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 D、2

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11. 直线 $y = 3 x$ 绕原点逆时针旋转 $90^{0}$ ，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 若圆 $C$ 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 $4 x - 3 y = 0$ 和 $x$ 轴都相切，则该圆的标准方程是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 过两点 $(- 1 ， 1)$ 和 $(3 ， 9)$ 的直线在 $x$ 轴上的截距是.

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14. 圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 关于直线 $l ： x + y = m$ 对称，则实数 $m$ 的值为。

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\overset{⇀}{B D} = x \overset{⇀}{A D} + y \overset{⇀}{A B} + z \overset{⇀}{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z$ 的值为。

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16. 设圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上有且仅有两个点到直线 $4 x - 3 y - 2 = 0$ 的距离等于1，则圆半径 $r$ 的取值范围是.

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三、解答题

17.

(1)、已知圆 $S$ 经过 $A (7 ， 8)$ 和点 $B (8 ， 7)$ ，圆心 $S$ 在直线 $2 x - y - 4 = 0$ 上，求圆 $S$ 的方程。

(2)、求圆心在原点且圆周被直线 $3 x + 4 y + 15 = 0$ 分成 $1 ： 2$ 两部分的圆的方程。

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18.

(1)、如图，在大小为 $45 °$ 的二面角 $A - E F - D$ 中，四边形 $A B F E$ ， $C D E F$ 都是边长为1的正方形，求 $B ， D$ 两点间的距离。

(2)、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90^{0}$ ， $M ， N$ 分别为 $A_{1} B_{1} ， A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，求 $B M$ 与 $A N$ 所成的角的余弦值。

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，直线 $A P ⊥ 平面 C D P$ ，已知 $A P = D P = 2$ ， $E$ 为线段 $D P$ 的中点。

(1)、求证： $平面 P A D ⊥ 平面 A B C D$ ；

(2)、求四棱锥 $E - A B C D$ 的体积。

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20. $O$ 为坐标原点，直线 $l ： y = - x + \sqrt{6}$ ， $l$ 与圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = r_{1}^{2}$ 相切， $l$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = r_{2}^{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点， $| A B | = 2$ ， $0 < r_{1} < r_{2}$ 。

(1)、求圆 $C_{1}$ ，圆 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、直线 $m$ 过 $E (1 ， 0)$ 交圆 $C_{2}$ 于 $C D$ 两点，过 $E$ 作 $O C$ 的平行线交 $O D$ 于点 $W$ ，求 $| W E | + | W O |$ 的值。

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21. 如图几何体 $A B C D E F$ 中，等边三角形 $A D E$ 所在平面垂直于矩形 $A B C D$ 所在平面，又知 $A B = 2$ ， $E F$ // $A B ， E F = 1$ .

(1)、若 $E D$ 的中点为 $M$ ， $N$ 在线段 $A B$ 上， $M N$ //平面 $B C F$ ，求 $| B N |$ ；

(2)、若平面 $A B F E$ 与平面 $B C F$ 所成二面角 $θ$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，求直线 $A E$ 与平面 $B C F$ 所成角 $ϕ$ 的正弦值；

(3)、若 $A D$ 中点为 $O$ ， $A D = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $O$ 在平面 $B C F$ 上的正投影。

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22. 已知曲线 $l ： y = k | x | - 6 (k > 0)$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = 16$ 相交于 $A ， B ， C ， D$ 四个点， $| A B | < | C D |$ ， $A ， D$ 在 $y$ 轴右侧， $O$ 为坐标原点。

(1)、当曲线 $l$ 与圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 恰有两个公共点时，求 $k$ ；

(2)、当 $Δ O A D$ 面积最大时，求 $k$ ；

(3)、证明：直线 $A C$ 与直线 $B D$ 相交于定点 $E$ ，求求出点 $E$ 的坐标。

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