2017年高考数学冲刺100题（每天1练）：21-30题

试卷更新日期：2017-04-07 类型：三轮冲刺

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一、冲刺100题

1. 2016年年初为迎接习总书记并向其报告工作，省有关部门从南昌大学校企业的LED产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)、求这1000件产品质量指标值的样本平均数 $\bar{x}$ 和样本方差s²（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(2)、由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，δ²），其中μ近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，δ²近似为样本方差s² ．
（i）利用该正态分布，求P（175.6＜Z＜224.4）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，
记X表示这100件产品中质量指标值为于区间 $(175.6 ， 224.4)$ 的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附： $\sqrt{150}$ ≈12.2．若Z～N（μ，δ²），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

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2. 已知 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 为两个非零向量，且| $\vec{m}$ |=2，| $\vec{m}$ +2 $\vec{n}$ |=2，则| $\vec{n}$ |+|2 $\vec{m}$ + $\vec{n}$ |的最大值为（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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3. 若非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小为．

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2， $\vec{b}$ =（4cosα，﹣4sinα），且 $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ），设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为θ，则θ等于．

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5. 已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB边上任意一点，则 $\vec{C P} \cdot (\vec{B A} - \vec{B C})$ 的最大值为

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6. 已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB= $\frac{π}{2}$ ，则该函数的最小正周期是

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7. 已知对任意的 $x \in R$ ， $3 a (\sin x + \cos x) + 2 b \sin 2 x \leq 3 (a ， b \in R)$ 恒成立，则当 $a + b$ 取得最小值时， $a$ 的值是．

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8. 已知向量 $\vec{m} = (2 \cos ω x ， - 1) ， \vec{n} = (\sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x ， 2)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + 1$ ，若函数f（x）图象的两个相邻的对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数f（x）的单调增区间；

(2)、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若△ABC满足f（A）=1，a=3，BC边上的中线长为3，求△ABC的面积．

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9. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁ ， F₂ ，设点F₁ ， F₂与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设A，B，P为椭圆C上三点，满足 $\vec{O P}$ = $\frac{3}{5}$ $\vec{O A}$ + $\frac{4}{5}$ $\vec{O B}$ ，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y=x+1与轨迹E交于M，N两点，求|MN|．

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