福建省宁德宁市六校联盟2018屇高三上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-01-03 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}$ 在复平面内对应的点在 $($ $)$

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} - x < 0}$ ， $B = {x | - 2 < x < 2}$ 则（）

A、 B、 C、 D、

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3. 命题：“ $\exists x_{0} > 0$ ，使 $2^{x_{0}} (x_{0} - a) > 1$ ”，这个命题的否定是 $($ $)$

A、，使 B、，使 C、，使 D、，使

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4. 要得到函数 $y = sin 2 x$ 的图象，只要将函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象 $($ $)$

A、向左平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位

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5. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 2$ ， $a_{1} + a_{4} = a_{5}$ ，若 $S_{n} > 32$ ，则n的最小值为 $($ $)$

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 设 $a = 3^{0.4}$ ， $b = {log}_{3} 0.4$ ， $c = {0.4}^{3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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7. 已知直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $m \subset$ 平面 $β$ ，则下列四个命题正确的是 $($ $)$
$① α / / β \Rightarrow l ⊥ m$ ； $② α ⊥ β \Rightarrow l / / m$ ； $③ l / / m \Rightarrow α ⊥ β$ ； $④ l ⊥ m \Rightarrow α / / β$ ．

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) ($ 其中 $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形且 $D_{1} D ⊥$ 平面ABCD ，则 $A_{1} C$ 与BD所成的角是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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10. 函数 $y = \frac{{log}_{2} | x |}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1000尺，则需要几天时间才能打穿结果取整数

A、8 B、9 C、10 D、11

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12. 若函数 $y = f (x) (x \in R)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且当 $x \in (- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = | x |$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = {log}_{3} | x |$ 的图象的交点的个数是 $($ $)$

A、2 B、4 C、6 D、多于6

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二、填空题

13. 设 $x \in R$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = (x ， 1) ， \overset{⇀}{b} = (1 ， - 2)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} | =$ ．

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14. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $sin α = \frac{3}{5}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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15. 一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 $40^{\circ}$ 方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东 $65^{\circ}$ ，港口A的东偏南 $20^{\circ}$ 处，那么B ， C两点的距离是海里．

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16. 函数y=（x+a）e^x在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直，则a的值为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，其中 $\vec{a} = (2 cos x ， \sqrt{3} sin 2 x)$ ， $\vec{b} = (cos x ， 1)$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， $f (A) = 2$ ， $a = \sqrt{7}$ ，且 $sin B = 2 sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，四边形ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD ， $D E / / P A$ ．

$($ Ⅰ $)$ 求证： $B C ⊥ C E$ ；

$($ II $)$ 若直线 $m \subset$ 平面PAB ，试判断直线m与平面CDE的位置关系，并说明理由；

$($ Ⅲ $)$ 若 $A B = P A = 2 D E = 2$ ， $A D = 3$ ，求三棱锥 $E - P C D$ 的体积．

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项为和 $S_{n}$ ，且 $a_{3} - 3 a_{2} = 0$ ， $S_{2} = 12$ ，数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} - b_{n} = 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前N项和 $T_{n}$ ．

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20. 某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：

产品品种

劳动力

煤吨

电千瓦

A产品

3

9

4

B产品

10

4

5

已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现在条件有限，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问：该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？并求出最大利润．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x - a ln x (a \neq 0)$

(1)、若 $x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的极值点，1是函数 $f (x)$ 的一个零点，求 $a + b$ 的值；

(2)、当 $b = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意 $b \in [- 2, - 1]$ ，都存在 $x \in (1, e)$ ，使得 $f (x) < 0$ 成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 cos θ - 4 sin θ$ ．以极点为原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 11 + t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）．

(1)、判断直线 $l$ 与曲线 $C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若直线 $l$ 和曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ ．

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产品品种	劳动力	煤吨	电千瓦
A产品	3	9	4
B产品	10	4	5