2017年四川省广元市高考数学二诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-07 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 若集合A={x|x²+3x﹣4＞0}，B={x|﹣2＜x≤3}，且M=A∩B，则有（）

A、（∁_RB）⊆A B、B⊆A C、2∈M D、1∈M

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2. 已知z= $\frac{i}{1 + i}$ ﹣ $\frac{1}{2 i}$ （i是虚数单位）．那么复数z的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、i C、1 D、﹣1

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3. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ =（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{10}{9}$ D、 $\frac{15}{8}$

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4. 已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116，8²），则成绩在140分以上的考生所占的百分比为（）
（附：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974）

A、0.3% B、0.23% C、1.3% D、0.13%

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5. 某零件的三视图如图所示，则该零件的体积为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{8 - π}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{7 - π}{3}$

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6. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且对任意正整数n都有a_n= $\frac{3}{4}$ S_n+2成立．若b_n=log₂a_n ，则b₁₀₀₈=（）

A、2017 B、2016 C、2015 D、2014

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7. 现用随机模拟方法近似计算积分 $\int_{0}^{2}$ $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$ dx，先产生两组（每组1000个）在区间[0，2]上的均匀随机数x₁ ， x₂ ， x₃ ， …，x₁₀₀₀和y₁ ， y₂ ， y₃ ， …，y₁₀₀₀ ，由此得到1000个点（x_i ， y_i）（i=1，2，…，1000），再数出其中满足 $\frac{x_{i}^{2}}{4}$ + $y_{i}^{2}$ ≤1（i=1，2，…，1000）的点数400，那么由随机模拟方法可得积分 $\int_{0}^{2}$ $\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$ dx的近似值为（）

A、1.4 B、1.6 C、1.8 D、2.0

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8. 将函数y=2sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，所得图象对应的函数（）

A、在区间[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{7 π}{12}$ ]上单调递增 B、在区间[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{7 π}{12}$ ]上单调递减 C、在区间[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上单调递增 D、在区间[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上单调递减

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9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）
参考数据： $\sqrt{3} = 1.732$ ，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．

A、12 B、24 C、48 D、96

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10. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S_m_﹣₁=﹣2，S_m=0，S_m₊₁=3，其中m≥2，则nS_n的最小值为（）

A、﹣3 B、﹣5 C、﹣6 D、﹣9

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11. 已知双曲线C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 一焦点与抛物线y²=8x的焦点F相同，若抛物线y²=8x的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为1，P为双曲线左支上一动点，Q（1，3），则|PF|+|PQ|的最小值为（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、4 D、2 $\sqrt{3} + 3 \sqrt{2}$

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12. 定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）= $\frac{1}{2}$ f（x），当x∈[0，2]时，f（x）= ${\begin{matrix} \frac{1}{2} - 2 x ， 0 \leq x < 1 \\ - 2^{1 - | x - \frac{3}{2} |} ， 1 \leq x < 2 \end{matrix}$ ，函数g（x）=x³+3x²+m．若对任意s∈[﹣4，﹣2），存在t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣12] B、（﹣∞，14] C、（﹣∞，﹣8] D、（﹣∞， $\frac{31}{2}$ ]

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二、填空题

13. 若 $C_{n}^{0}$ + $C_{n}^{1}$ +…+ $C_{n}^{n}$ =256，则 ${(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含x⁵项的系数为．（用数字作答）

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14. 在条件 ${\begin{matrix} 2 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则 $\frac{5}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是．

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15. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为．

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16. 已知函数g（x）=a﹣x²（ $\frac{1}{e}$ ≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是．

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三、解答题：

17. 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（Ⅰ）求∠ABC；
（Ⅱ）若∠A= $\frac{π}{2}$ ，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．

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18. 为了解人们对于国家新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在对某市年龄在35岁的人调查，随机选取年龄在35岁的100人进行调查，得到他们的情况为：在55名男性中，支持生二孩的有40人，不支持生二孩的有15人；在45名女性中，支持生二孩的有20人，不支持的有25人．
（Ⅰ）完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“支持生二孩与性别有关”？
支持生二孩
不支持生二孩
合计
男性
女性
合计
附：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d
P（K²≥k₀）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k₀
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（Ⅱ）在被调查的人员中，按分层抽样的方法从支持生二孩的人中抽取6人，再用简单随机抽样的方法从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1名男性的概率；
（Ⅲ）以上述样本数据估计总体，从年龄在35岁人中随机抽取3人，记这3人中支持生二孩且为男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 如图，在四棱锥E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若AB=2 $\sqrt{3}$ ，AE=3 $\sqrt{2}$ ，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．

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20. 已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l₁：x=﹣2的距离为d₁ ，到点F（﹣1，0）的距离为d₂ ，且 $\frac{d_{2}}{d_{1}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；

(3)、对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{1}{2}$ x² ， g（x）=alnx．

(1)、若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；

(2)、设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x₁ ， x₂ ，都有 $\frac{h (x_{1}) - h (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ＞2恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、若在[1，e]上存在一点x₀ ，使得f′（x₀）+ $\frac{1}{f^{'} (x_{0})}$ ＜g（x₀）﹣g′（x₀）成立，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t \cos α \\ y = 1 + t \sin α \end{matrix}$ （t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ²=4 $\sqrt{2}$ ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$ ）﹣4．
（Ⅰ）求曲线C₂的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）若曲线C₁与曲线C₂交于A、B两点，求|AB|的最大值和最小值．

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23. 设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．

(1)、解不等式f（x）≤2；

(2)、若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．

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P（K²≥k₀）	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	支持生二孩	不支持生二孩	合计
男性
女性
合计