2017年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-07 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 复数 $\frac{i}{3 + i}$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 集合P={x|x²﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）

A、{x|﹣3＜x≤3} B、{x|﹣1≤x＜3} C、{﹣1，0，1，2，3} D、{﹣1，0，1，2}

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3. 已知cosα=﹣ $\frac{4}{5}$ ，且α∈（ $\frac{π}{2}$ ，π），则tan（α+ $\frac{π}{4}$ ）等于（）

A、﹣ $\frac{1}{7}$ B、﹣7 C、 $\frac{1}{7}$ D、7

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4. 若命题p：对任意的x∈R，都有x³﹣x²+1＜0，则￢p为（）

A、不存在x∈R，使得x³﹣x²+1＜0 B、存在x∈R，使得x³﹣x²+1＜0 C、对任意的x∈R，都有x³﹣x²+1≥0 D、存在x∈R，使得x³﹣x²+1≥0

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5. 在等比数列{a_n} 中，a₁=4，公比为q，前n项和为S_n ，若数列{S_n+2}也是等比数列，则q等于（）

A、2 B、﹣2 C、3 D、﹣3

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6. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，1），2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ =（4，2），则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{10} \sqrt{10}$ B、- $\frac{3}{10} \sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、- $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 函数f（x）=sin（2x+φ）+ $\sqrt{3}$ cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）

A、φ=2kπ﹣ $\frac{π}{6}$ ，k∈Z B、φ=kπ﹣ $\frac{π}{6}$ ，k∈Z C、φ=2kπ﹣ $\frac{π}{3}$ ，k∈Z D、φ=kπ﹣ $\frac{π}{3}$ ，k∈Z

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8. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）

A、9 B、121 C、130 D、17021

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9. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，则 $\frac{b^{2} + 1}{3 a}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、2 D、1

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10. （x²+3x﹣y）⁵的展开式中，x⁵y²的系数为（）

A、﹣90 B、﹣30 C、30 D、90

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11. 已知不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 ， y \geq 0 \\ 2 x + y - 1 \leq 0 \end{matrix}$ 表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x²+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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12. 定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x₁﹣1|＜|x₂﹣1|时，有（）

A、f（2﹣x₁）≥f（2﹣x₂） B、f（2﹣x₁）=f（2﹣x₂） C、f（2﹣x₁）＜f（2﹣x₂） D、f（2﹣x₁）≤f（2﹣x₂）

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二、填空题

13. 设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知a₂=3，a₆=11，则S₇= ．

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14. 直线y=x与函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 ， x > m \\ x^{2} + 4 x + 2 ， x \leq m \end{matrix}$ 的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是．

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15. 设F为抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点，与抛物线相切于点P（﹣4，﹣4）的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF的值是．

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16. 如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为．

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三、解答题

17. 如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．
（Ⅰ）用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{D E}$ ．
（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．

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18. 某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以 $\frac{1}{8}$ 为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足 $\frac{1}{2}$ ，恰好参加两次测试通过的概率为 $\frac{9}{32}$ ．
（Ⅰ）求该同学第一次参加测试就能通过的概率；
（Ⅱ）求该同学参加测试的次数的分布列和期望．

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19.
如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．

（Ⅰ）证明：EM⊥BF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

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20. 已知点P（﹣1， $\frac{3}{2}$ ）是椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）上一点，F₁ ， F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设A，B是椭圆E上两个动点，满足： $\vec{P A} + \vec{P B} = λ \vec{P O}$ （0＜λ＜4，且λ≠2），求直线AB的斜率．

(3)、在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

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21. 已知函数f（x）=x²﹣ax+ln（x+1）（a∈R）．

(1)、当a=2时，求函数f（x）的极值点；

(2)、若函数f（x）在区间（0，1）上恒有f′（x）＞x，求实数a的取值范围；

(3)、已知c₁＞0，且c_n₊₁=f′（c_n）（n=1，2，…），在（2）的条件下，证明数列{c_n}是单调递增数列．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁： ${\begin{matrix} x = a + a \cos ϕ \\ y = a \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数，实数a＞0），曲线C₂： ${\begin{matrix} x = b \cos ϕ \\ y = b + b \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ $\frac{π}{2}$ ）与C₁交于O、A两点，与C₂交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α= $\frac{π}{2}$ 时，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|²+|OA|•|OB|的最大值．

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23. 设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣ $\frac{1}{a}$ |（x∈R，实数a＜0）．
（Ⅰ）若f（0）＞ $\frac{5}{2}$ ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：f（x）≥ $\sqrt{2}$ ．

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