2017年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-07 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知复数z满足z•i=2﹣i（i为虚数单位），则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合A={x|x²+2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）

A、（0，1） B、（0，3） C、（﹣1，1） D、（﹣1，3）

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3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）

A、若m∥α，m∥β，则α∥β B、若m∥α，α∥β，则m∥β C、若m⊂α，m⊥β，则α⊥β D、若m⊂α，α⊥β，则m⊥β

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4. 在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x²+y²=1相交的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出的s的值是（）

A、7 B、6 C、5 D、3

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6. 在△ABC中，| $\vec{A B} + \vec{A C}$ |= $\sqrt{3}$ | $\vec{A B} - \vec{A C}$ |，| $\vec{A B}$ |=| $\vec{A C}$ |=3，则 $\vec{C B} \cdot \vec{C A}$ =（）

A、3 B、﹣3 C、 $\frac{9}{2}$ D、﹣ $\frac{9}{2}$

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{34}$ C、 $\sqrt{41}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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8. 已知x，y满足线性约束条件 ${\begin{matrix} y - x \leq 3 \\ \begin{array}{l} x + y \leq 5 \\ y \geq λ \end{array} \end{matrix}$ ，若z=x+4y的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为（）

A、3 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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9. 将函数y=cos（2x+ $\frac{π}{3}$ ）的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到f（x）的图象，则（）

A、f（x）=﹣sin2x B、f（x）的图象关于x=﹣ $\frac{π}{3}$ 对称 C、f（ $\frac{7 π}{3}$ ）= $\frac{1}{2}$ D、f（x）的图象关于（ $\frac{π}{12}$ ，0）对称

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10. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log₂x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（ $\frac{1}{2}$ ）的实数x为（）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{67}{8}$ C、 $\frac{33}{4}$ D、 $\frac{65}{8}$

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二、填空题：.

11. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则双曲线C的离心率为．

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12. 已知α为第四象限角，sinα+cosα= $\frac{1}{5}$ ，则tanα的值为．

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13. （ $\frac{1}{2}$ x﹣2y）⁵的展开式中的x²y³系数是．

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14. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对∀x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x²+4的解集为．

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15. 以下命题：

①“x=1”是“x²﹣3x+2=0”的充分不必要条件；
②命题“若x²﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²﹣3x+2≠0”
③对于命题p：∃x＞0，使得x²+x+1＜0，则￢p：∀x≤0，均有x²+x+1≥0
④若p∨q为假命题，则p，q均为假命题
其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）．

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三、解答题：

16. 已知函数f（x）=4cosxsin（x+ $\frac{π}{6}$ ）+m（m∈R），当x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]时，f（x）的最小值为﹣1．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．

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17. 在学校组织的“环保知识”竞赛活动中，甲、乙两班6名参赛选手的成绩的茎叶图受到不同程度的污损，如图：
（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率；
（Ⅱ）若甲班污损的学生成绩是90分，乙班污损的学生成绩为97分，现从甲乙两班所有选手成绩中各随机抽取2个，记抽取到成绩高于90分的选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学成绩．

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18. 若数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2，且a_nb_n+b_n=nb_n₊₁ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n= $\frac{a_{n} + 1}{b_{n + 1}}$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n ，若不等式（﹣1）ⁿλ＜T_n+ $\frac{n}{2^{n - 1}}$ 对一切n∈N^* ，求实数λ的取值范围．

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19. 如图长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别为CB₁、CD₁、AB的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣C的余弦值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）经过点（ $\sqrt{2}$ ，1），过点A（0，1）的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x²﹣mx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=0有两个不同的实数根，求证：f（1）+g（1）＜0；
（Ⅲ）若存在x₀∈[ $\frac{1}{e}$ ，e]使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．

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