安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x+ \frac{1}{x} \geq 2$ ；命题 $q： \exists x_{0} \in [\begin{matrix} 0 ， \frac{π}{2} \end{matrix}]$ ，使 ${sin x}_{0} {+cos x}_{0} = \sqrt{2}$ 则下列命题中为真命题的是（）

A、 B、p∧( q) C、 D、

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2. 下列说法正确的是（）

A、命题“ ”的否定是：“ ” B、 “ ”是“ ”的必要不充分条件 C、命题“若，则 ”的否命题是：若，则 D、命题“若 $x = y$ ，则 ”的逆否命题为真命题.

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3. 设定点 $F_{1} (0, - 3)$ 、 $F_{2} (0, 3)$ ，动点 $P$ 满足 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = a + \frac{9}{a} (a > 0)$ ，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、线段 C、不存在 D、椭圆或线段

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4. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{49^{}} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左,右焦点， $P$ 是椭圆上一点，且 $| P F_{1} | : | P F_{2} | = 4 : 3,$ 则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、24 B、25 C、30 D、40

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (0 ， \sqrt{2}) ， B (0 ， - \sqrt{2}) ， P$ 为函数 $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ 图象上一点，若 $| P B | = 2 | P A |$ ，则 $cos ∠ A P B =$ （）

A、 B、 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$ ，若直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 相交于点 $O$ ，直线 $l_{1}$ 交双曲线于 $A_{1} 、 B_{1}$ ，直线 $l_{2}$ 交双曲线于 $A_{2} 、 B_{2}$ ，且使 $| A_{1} B_{1} | = | A_{2} B_{2} |$ 则称 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 为“ $W W$ 直线对”.现有所成的角为60°的“ $W W$ 直线对”只有2对，且在右支上存在一点 $P$ ，使 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $∠ M N A = 30 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、

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8. 已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，双曲线 $C$ 上一点 $P$ 满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 2 a^{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、

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9. 已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一点，设点 $P$ 到此抛物线准线的距离为 $d_{1}$ ，到直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 的距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值为（）

A、4 B、 C、5 D、

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10. 已知点 $P$ 在抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上，则当点 $P$ 到点 $Q (1 ， 2)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 过曲线 $y = f (x) = \frac{x}{1 - x}$ 图象上一点（2， $-$ 2）及邻近一点（2 $+ Δ x$ ， $-$ 2 $+ Δ y$ ）作割线，则当 $Δ x = 0.5$ 时割线的斜率为（）

A、 B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $- \frac{5}{3}$

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12. 已知 $f (x) = sin π x + f^{'} (1) x^{2}$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、以上都不正确

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二、填空题

13. 关于 $x$ 的不等式 $| x - m | < 1$ 成立的充分不必要条件是 $1 < x < 4$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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14. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 及一点 $P (- 1 ， 0)$ ， $Q$ 在圆 $O$ 上运动一周， $P Q$ 的中点 $M$ 形成轨迹 $C$ 的方程为．

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15. 直线 $y = - \sqrt{3} x$ 与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交与 $A ， B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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16. 已知在 $R$ 上可导， $F (x) = f (x^{3} - 1) + f (1 - x^{3})$ ，则 $F^{'} (1) =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x (a \in R)$ ，且曲线 $f (x)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处的切线与直线 $y = - \frac{3}{4} x - 1$ 平行．
（Ⅰ）求 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）若函数 $y = f (x) - m$ 在区间 $[- 3 ， \sqrt{3}]$ 上有三个零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a ln x (a \in R)$ .
（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为 $y = x + b$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值；

（Ⅱ）讨论方程 $f (x) = 0$ 的解的个数，并说明理由.

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19. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F ， A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 是过F的直线与抛物线的两个交点，
求证：

(1)、y₁y₂＝－p² ， $x_{1} x_{2} = - p^{2}$ ；

(2)、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |}$ 为定值；

(3)、以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

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20. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，P是双曲线上一点， $F_{2}$ 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍

(1)、求双曲线的渐近线方程；

(2)、当 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ 时， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $48 \sqrt{3}$ ，求此双曲线的方程。

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21. 设命题 $p : \frac{2 c - 1}{c - 1} < 0$ ，命题 $q$ ：关于 $x$ 不等式 $x + {(x - 2 c)}^{2} > 1$ 的解集为 $R$ .

(1)、若命题 $q$ 为真命题，求实数 $c$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 或 $q$ 是真命题， $p$ 且 $q$ 是假命题，求实数 $c$ 的取值范围.

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22. 如图，小明想将短轴长为2，长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE，且梯形ABDE内接于半椭圆，DE∥AB，AB为短轴，OC为长半轴

(1)、求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式；

(2)、若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点，求底边DE的取值范围

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