安徽省滁州市定远县西片区2018-2019学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2018-12-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 光线沿着直线 $y = - 3 x + b$ 射到直线 $x + y = 0$ 上，经反射后沿着直线 $y = - a x + 3$ 射出，则由（）

A、， B、， C、 $a = 3$ ， D、，

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2. 若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 的圆心到直线 $x - y + a = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $a$ 的值为（）．

A、或 B、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$ C、或 D、或

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3. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形， $A A_{1}$ 平面 $A B C ， A B = 2 ， A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 和 $B C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、1 B、 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B C$ 底面 $A B C$ ， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ， $A D = 6$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $F$ 为线段 $A D$ 上一点，且 $F G ∥$ 平面 $B C D$ ，则线段 $F G$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 如图4，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长都相等，则二面角 $A_{1} - B C - A$ 的平面角的正切值为（）

A、 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、

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7. 如图，三棱柱ABC-A₁B₁BC₁中，侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁ ，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）

A、CC₁与B₁E是异面直线 B、AC⊥平面ABB₁A₁ C、AE⊥B₁C D、A₁C_1//平面AB₁E

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8. 已知圆 $C$ 与直线 $x - y = 0$ 及 $x - y - 4 = 0$ 都相切，圆心在直线 $x + y = 0$ 上，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $Δ A B C$ 与 $Δ B C D$ 都是边长为 $6$ 的正三角形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ，则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为

A、 B、 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 若直线 $y = k (x - 2) + 4$ 与曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 设 $α, β$ 为两个不重合的平面， $l, m, n$ 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若 $α / / β$ ， $l \subset α$ ，则 $l / / β$ ；②若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ ；③若 $l / / α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ ；④若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ，且 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ .

其中正确命题的序号是（）

A、①③ B、①②③ C、①③④ D、②④

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二、填空题

13. 如图，半球内有一内接正四棱锥 $S - Α Β CD$ ，该四棱锥的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，则该半球的表面积为．

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14. 已知 $Δ A B C$ 的顶点都在球 $O$ 的球面上， $A B = 6 ， B C = 8 ， A C = 10$ ，三棱锥 $O - A B C$ 的体积为 $40 \sqrt{3}$ ，则该球的表面积等于.

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15. 如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点， $P A ⊥$ 圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面 $α ⊥ P B$ ，交PB，PC分别于E，F，当三棱锥P-AEF体积最大时， $tan ∠ B A C$ = ．

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16. 在平面直角坐标系中， $A, B$ 分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴上的动点，若以 $A B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $2 x + y - 4 = 0$ 相切，则圆 $C$ 面积的最小值为．

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三、解答题

17. 直线过点P $(\frac{4}{3}, 2)$ 且与x轴、y轴的正半轴分别交于A ， B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

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18. 在平面直角坐标系中，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A$ ，以 $A$ 为圆心的圆 $A$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）与圆 $O$ 交于 $B$ ， $C$ 两点.

(1)、若直线 $l$ 与圆 $O$ 切于第一象限，且与坐标轴交于 $D$ ， $E$ ，当直线 $D E$ 长最小时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是圆 $O$ 上异于 $B$ ， $C$ 的任意一点，直线 $P B$ 、 $P C$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M$ 和 $N$ ，问 $O M \cdot O N$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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19. 如下图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，侧棱 $O B ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且侧棱 $O B$ 的长是 $2$ ，点 $E ， F ， G$ 分别是 $A B ， O D ， B C$ 的中点.

（Ⅰ）证明： $O D ⊥$ 平面 $E F G$ ；

（Ⅱ）求三棱锥 $O - E F G$ 的体积.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $P A = A D = 2$ ， $A B = B C = 1$ .

(1)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值；

(2)、点 $Q$ 是线段 $B P$ 上的动点，当直线 $C Q$ 与 $D P$ 所成的角最小时，求线段 $B Q$ 的长.

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21. 如图，在四棱锥 $A - C D F E$ 中，四边形 $C D F E$ 为直角梯形， $C E / / D F ， E F ⊥ F D ， A F ⊥$ 平面 $C E F D$ ， $P$ 为 $A D$ 的中点， $E C = \frac{1}{2} F D$ ．

(1)、求证： $C P / /$ 平面 $A E F$ ；

(2)、设 $E F = 2 ， A F = 3 ， F D = 4$ ，求点 $F$ 到平面 $A C D$ 的距离．

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22. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F分别是 $B B_{1}$ 、CD的中点，

(1)、证明： $A D ⊥ D_{1} F$ ；

(2)、求异面直线 $A E$ 与 $D_{1} F$ 所成的角；

(3)、证明：平面 $A E D ⊥$ 平面 $A_{1} F D_{1}$ 。

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