2017年山东省菏泽市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合A={x|x²﹣x﹣6＞0}，集合B={x|﹣1＜x＜4}，则A∩B等于（）

A、∅ B、（﹣2，3） C、（2，4） D、（3，4）

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2. 若复数z满足z﹣1= $\frac{{(i - 1)}^{2} + 2}{1 + i}$ （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a²sinC=4sinA，cosB= $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，则△ABC的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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4. 在一次化学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（）

A、60 B、70 C、80 D、100

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5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. “m＞2”是不等式|x﹣3^m|+|x﹣ $\sqrt{3}$ |＞2 $\sqrt{3}$ 对∀x∈R恒成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知| $\vec{A B}$ |=3，| $\vec{A C}$ |=2 $\sqrt{3}$ ，∠BAC=30°，且2 $\vec{A C}$ +3 $\vec{D C}$ =5 $\vec{B C}$ ，则 $\vec{A C}$ • $\vec{C D}$ 等于（）

A、﹣2 B、3 C、4 D、﹣5

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8. 已知实数x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x + y - a \geq 0 \\ 2 x - y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，若z= $\frac{y + 1}{x + 1}$ 的最小值为﹣ $\frac{1}{4}$ ，则正数a的值为（）

A、 $\frac{7}{6}$ B、1 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{8}{9}$

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9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），直线x=c与双曲线C在第一象限的交点为P，过F的直线l与双曲线C过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP交于点B，若△ABF与△PBF的面积的比值为2，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 设min{m，n}表示m、n二者中较小的一个，已知函数f（x）=x²+8x+14，g（x）=min{（ $\frac{1}{2}$ ）^x^﹣² ， log₂（4x）}（x＞0），若∀x₁∈[﹣5，a]（a≥﹣4），∃x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，则a的最大值为（）

A、﹣4 B、﹣3 C、﹣2 D、0

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二、填空题

11. a₁= $\frac{1}{2}$ ‘
a₂= $\frac{1}{3}$ （1﹣a₁）= $\frac{1}{6}$ ；
a₃= $\frac{1}{4}$ （1﹣a₁﹣a₂）= $\frac{1}{12}$ ；
a₄= $\frac{1}{5}$ （1﹣a₁﹣a₂﹣a₃）= $\frac{1}{20}$ ；
…
照此规律，当n∈N*时，a_n= ．

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12. 执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为．

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13. 已知（ $\sqrt{x}$ ﹣ $\frac{a}{x^{2}}$ ）⁵的常数项为15，则函数f（x）=log $_{\frac{1}{3}}$ （x+1）﹣ $\frac{a}{x + 1}$ 在区间[﹣ $\frac{2}{3}$ ，2]上的值域为．

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14. 已知a≥ $\frac{4}{3}$ $\int_{0}^{\frac{π}{6}}$ cosθdθ，则曲线f（x）=ax+ $\frac{2}{a}$ ln（ax﹣1）在点（2，f（2））处切线的斜率的最小值为．

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15. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，以抛物线C上的点M（x₀ ， 2 $\sqrt{2}$ ）（x₀＞ $\frac{p}{2}$ ）为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x= $\frac{p}{2}$ 截得的弦长为 $\sqrt{3}$ | $\vec{M A}$ |，若 $\frac{| \vec{M A} |}{| \vec{A F} |}$ =2，则| $\vec{A F}$ |= ．

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三、解答题

16. 已知向量 $\vec{a}$ =（sinx，mcosx）， $\vec{b}$ =（3，﹣1）．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，且m=1，求2sin²x﹣3cos²x的值；

(2)、若函数f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ 的图象关于直线x= $\frac{2 π}{3}$ 对称，求函数f（2x）在[ $\frac{π}{8}$ ， $\frac{2 π}{3}$ ]上的值域．

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17. 如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．

(1)、求证：BF∥平面ADP；

(2)、求二面角B﹣DF﹣P的余弦值．

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18. 在数列{a_n}中，a₁=1， $\frac{2 + a_{n + 1}}{1 + a_{n + 1}}$ = $\frac{1}{1 + a_{n}}$ + $\frac{3}{2}$ （n∈N*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=1+a $_{2^{n}}$ （n∈N*），求数列{2nb_n}的前n项和S_n ．

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19. 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：时间），分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周
自我熬夜学习的总时长超过22小时，则称为“过度熬夜”．

(1)、请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；

(2)、从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；

(3)、从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．

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20. 已知函数f（x）=（2x+b）e^x ， F（x）=bx﹣lnx，b∈R．

(1)、若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；

(2)、若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．

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21. 已知焦距为2 $\sqrt{2}$ 的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y= $\frac{4}{3}$ 与椭圆C交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．
（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y﹣2=0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．

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