2017年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、一.填空题：

1. 已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x²﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁_UM= ．

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2. 若复数z满足z+i= $\frac{2 + i}{i}$ ，其中i为虚数单位，则|z|= ．

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3. 函数f（x）= $\frac{1}{\ln (4 x - 3)}$ 的定义域为．

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4. 如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是

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5. 某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．

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6. 已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 $\sqrt{3}$ ，则该正四棱锥的体积为．

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7. 从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²=8x的焦点恰好是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =l的右焦点，则双曲线的离心率为．

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9. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₃ ， S₉ ， S₆成等差数列．且a₂+a₅=4，则a₈的值为．

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10. 在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x²+y²=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且 $\vec{B M}$ =2 $\vec{M A}$ ，则直线l的方程为．

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11. 在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 $\vec{A P}$ = $\vec{A B}$ +λ $\vec{A C}$ ，且 $\vec{B P}$ • $\vec{C P}$ =1，则实数λ的值为．

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12. 已知sinα=3sin（α+ $\frac{π}{6}$ ），则tan（α+ $\frac{π}{12}$ ）= ．

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13. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} \frac{1}{2^{x}} - 1 ， x < 1 \\ \frac{\ln x}{x^{2}} ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则函数y=|f（x）|﹣ $\frac{1}{8}$ 的零点个数为．

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14. 若正数x，y满足15x﹣y=22，则x³+y³﹣x²﹣y²的最小值为．

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二、二.解答题：

15. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B= $\frac{π}{6}$

(1)、求边c的长；

(2)、求角B的大小．

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16. 如图，在斜三梭柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C是菱形，AC₁与A₁C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC₁B₁

(1)、求证：E是AB中点；

(2)、若AC₁⊥A₁B，求证：AC₁⊥BC．

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17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m²）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．

(1)、请将l表示成关于α的函数l=f（α）；

(2)、问当α为何值时l最小？并求最小值．

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18.
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆的右顶点为A．

(1)、求该椭圆的方程：

(2)、过点D（ $\sqrt{2}$ ，﹣ $\sqrt{2}$ ）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的
斜率之和为定值．

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19. 已知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）

(1)、若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；

(2)、若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

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20. 已知n为正整数，数列{a_n}满足a_n＞0，4（n+1）a_n²﹣na_n₊₁²=0，设数列{b_n}满足b_n= $\frac{a_{n}^{2}}{t^{n}}$

(1)、求证：数列{ $\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$ }为等比数列；

(2)、若数列{b_n}是等差数列，求实数t的值：

(3)、若数列{b_n}是等差数列，前n项和为S_n ，对任意的n∈N^* ，均存在m∈N^* ，使得8a₁²S_n﹣a₁⁴n²=16b_m成立，求满足条件的所有整数a₁的值．

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21. 如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．

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22. 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 $\vec{e_{1}}$ =[ $_{1}^{1}$ ]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．

(1)、求矩阵M；

(2)、求矩阵M的另一个特征值．

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23. 已知圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=2， $ρ^{2} - 2 \sqrt{2} ρ \cos (θ - \frac{π}{4}) = 2$ ．

(1)、把圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

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24. 已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 $\sqrt{3 a + 1}$ + $\sqrt{3 b + 1}$ + $\sqrt{3 c + 1}$ 的最大值．

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25. 如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 $\frac{P M}{P A} = \frac{B N}{B D}$ = $\frac{1}{3}$ ．

(1)、求异面直线MN与PC所成角的大小；

(2)、求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．

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26. 设|θ|＜ $\frac{π}{2}$ ，n为正整数，数列{a_n}的通项公式a_n=sin $\frac{n π}{2}$ tanⁿθ，其前n项和为S_n

(1)、求证：当n为偶函数时，a_n=0；当n为奇函数时，a_n=（﹣1） $^{\frac{n - 1}{2}}$ tanⁿθ；

(2)、求证：对任何正整数n，S_2n= $\frac{1}{2}$ sin2θ•[1+（﹣1）ⁿ⁺¹tan²ⁿθ]．

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