2017年吉林省延边州高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合A={a，4}，B={2，a²}，且A∩B={4}，则A∪B=（）

A、{2，4} B、{﹣2，4} C、{﹣2，2，4} D、{﹣4，2，4}

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2. 若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、﹣4 C、﹣ $\frac{4}{5}$ D、4

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3. 下列说法中正确的是（）

A、命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题 B、命题“∀x∈（0，+∞），2^x＞1”的否定是“∃x_°∈（0，+∞），2^x°≤1” C、命题“若a＞b，则a²＞b²”的逆否命题是“若a²＜b² ，则a＜b” D、设x∈R，则“x＞ $\frac{1}{2}$ ”是“2x²+x﹣1＞0”的必要而不充分条件

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4. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A、m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β B、α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥n C、m⊥α，m⊥n⇒n∥α D、m∥n，n⊥α⇒m⊥α

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5. 执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）

A、2¹¹﹣2 B、2¹¹﹣1 C、2¹⁰﹣2 D、2¹⁰﹣1

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6. 在△ABC中，| $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ |=| $\vec{A B}$ ﹣ $\vec{A C}$ |，AB=4，AC=2，E，F为线段BC的三等分点，则 $\vec{A E}$ • $\vec{A F}$ =（）

A、 $\frac{10}{9}$ B、4 C、 $\frac{40}{9}$ D、 $\frac{56}{9}$

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7. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、4

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8. 已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且3a₁ ， $\frac{1}{2}$ a₃ ， 2a₂成等差数列，则 $\frac{a_{2016} + a_{2017}}{a_{2015} + a_{2016}}$ 等于（）

A、3 B、9 C、27 D、81

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9. 如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}$ =0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5

A、线性回归直线一定过点（4.5，3.5） B、产品的生产能耗与产量呈正相关 C、t的取值必定是3.15 D、A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

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10. 如果圆（x﹣a）²+（y﹣a）²=8上总存在两个点到原点的距离为 $\sqrt{2}$ ，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣3，3） B、（﹣1，1） C、（﹣3，1） D、（﹣3，﹣1）∪（1，3）

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11. 设F₁、F₂是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（ $\vec{O P}$ + $\vec{O F_{2}}$ ）• $\vec{P F_{2}}$ =0（O为坐标原点），且3| $\vec{P F_{1}}$ |=4| $\vec{P F_{2}}$ |，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、5

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12. 已知定义在R上的函数满足：f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} + 2 ， x \in [0 ， 1) \\ 2 - x^{2} ， x \in [- 1 ， 0) \end{matrix}$ ，且f（x+2）=f（x），g（x）= $\frac{2 x + 5}{x + 2}$ ，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）

A、﹣9 B、﹣10 C、﹣11 D、﹣12

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二、填空题：

13. 已知= $\int_{1}^{e} \frac{6}{x}$ dx，那么（x²﹣ $\frac{1}{x}$ ）ⁿ的展开式中的常数项为．

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14. 记不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + 3 y \geq 4 \\ 3 x + y \leq 4 \end{matrix}$ 所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．

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15. 已知等差数列{a_n}的首项为a₁ ，公差为d，其前n项和为S_n ，若直线y=a₁x+m与圆x²+（y﹣1）²=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列（ $\frac{1}{S_{n}}$ ）的前100项的和为．

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16. 关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是

①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称
③y=f（x）的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ； ④f（x）即是奇函数，又是周期函数．

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三、解答题：

17. 已知函数f（x）=sin²wx﹣sin²（wx﹣ $\frac{π}{6}$ ）（x∈R，w为常数且 $\frac{1}{2}$ ＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．

（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（ $\frac{3}{5}$ A）= $\frac{1}{4}$ ．求△ABC面积的最大值．

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18. 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．

(1)、确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；

(2)、为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
使用微信时间（单位：小时）
频数
频率
（0，0.5]
3
0.05
（0.5，1]
x
p
（1，1.5]
9
0.15
（1.5，2]
15
0.25
（2，2.5]
18
0.30
（2.5，3]
y
q
合计
60
1.00

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19. 如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D为AA₁的中点，E为BC的中点．

(1)、求证：直线AE∥平面BDC₁；

(2)、若三棱柱 ABC﹣A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=4，求平面BDC₁与平面ABC所成二面角的正弦值．

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20. 已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．

（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；
（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S₁ ，外接圆面积为S₂ ，当P在M上运动时，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最小值．

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21. 已知f（x）=x²﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．

(1)、若h（x）的单调减区间是（ $\frac{1}{2}$ ，1），求实数a的值；

(2)、若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、设h（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁∈（0， $\frac{1}{2}$ ）．若h（x₁）﹣h（x₂）＞m恒成立，求m的最大值．

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22. 在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l₁的参数方程；
（Ⅱ）设l₁与圆M的两个交点为A，B，求 $\frac{1}{P A} + \frac{1}{P B}$ 的值．

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23. 设f（x）=|x﹣a|，a∈R

（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．

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使用微信时间（单位：小时）	频数	频率
（0，0.5]	3	0.05
（0.5，1]	x	p
（1，1.5]	9	0.15
（1.5，2]	15	0.25
（2，2.5]	18	0.30
（2.5，3]	y	q
合计	60	1.00

x	3	4	5	6
y	2.5	t	4	4.5