2017年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|y=lg（x²+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）

A、（﹣3，﹣2） B、（﹣3，2） C、（2，4） D、（﹣2，4）

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2. 复数z= $\frac{{(i - 1)}^{2} + 2}{i + 1}$ 的实部为（）

A、﹣2 B、﹣1 C、1、 D、0

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3. 假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表：
Y
X
y₁
y₂
总计
x₁
a
10
a+10
x₂
c
30
c+30
总计
60
40
100
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为（）

A、a=45，c=15 B、a=40，c=20 C、a=35，c=25 D、a=30，c=30

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4. 已知函数f（x）=cos（ωx﹣ $\frac{ω π}{6}$ ）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）

A、可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位而得 B、可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位而得 C、可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位而得 D、可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位而得

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5. 执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）

A、10 B、15 C、18 D、21

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6. 在△ABC中，A=30°，AB=3，AC=2 $\sqrt{3}$ ，且 $\vec{A D}$ +2 $\vec{B D}$ =0，则 $\vec{A C}$ • $\vec{C D}$ 等于（）

A、18 B、9 C、﹣8 D、﹣6

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7. 若实数x，y满足不等式组 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + 2 y - 4 \geq 0 \\ 2 x + y - 5 \leq 0 \end{matrix}$ 且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）

A、﹣2 B、﹣1 C、2 D、1

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8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、6 B、9 C、12 D、18

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9. 若tan $\frac{π}{12}$ cos $\frac{5 π}{12}$ =sin $\frac{5 π}{12}$ ﹣msin $\frac{π}{12}$ ，则实数m的值为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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10. 已知f（x）= ${\begin{matrix} - 2 ， 0 < x < 1 \\ 1 ， x \geq 1 \end{matrix}$ 在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log₂x﹣（log $_{\frac{1}{4}}$ 4x﹣1）f（log₃x+1）≤ $\frac{7}{2}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{12}$

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11. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x₀ ， 2 $\sqrt{2}$ ）（x₀＞ $\frac{p}{2}$ ）是抛物线C上一点．圆M与线段MF相交于点A，且被直线x= $\frac{p}{2}$ 截得的弦长为 $\sqrt{3}$ |MA|．若 $\frac{| M A |}{| A F |}$ =2，则|AF|等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、2 D、3

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12. 已知函数f（x）=ae^x﹣2x﹣2a，且a∈[1，2]，设函数f（x）在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是（）

A、[﹣2，﹣2ln2] B、[﹣2，﹣ $\frac{1}{e}$ ] C、[﹣2ln2，﹣1] D、[﹣1，﹣ $\frac{1}{e}$ ]

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二、填空题

13. （x+3）（1﹣ $\frac{2}{\sqrt{x}}$ ）⁵的展开式中常数项为．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0， $\sqrt{2}$ b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．

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15. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．若a²sinC=4sinA，（a+c）²=12+b² ，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．

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16. 在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，AA₁=3，E是AA₁的中点，过C₁作C₁F⊥平面BDE与平面ABB₁A₁交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．

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三、解答题

17. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，且6S_n=3ⁿ⁺¹+a（n∈N⁺）

(1)、求a的值及数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=（1﹣an）log₃（a_n²•a_n₊₁），求 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前n项和为T_n ．

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18. 某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．
表1：男生身高频数分布表
身高（cm）
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180）
[180，185）
[185，190）
频数
2
5
14
13
4
2
表2：女生身高频数分布表
身高（cm）
[150，155）
[155，160）
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180）
频数
1
7
12
6
3
1

(1)、求该校高一女生的人数；

(2)、估计该校学生身高在[165，180）的概率；

(3)、以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．

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19. 用如图所示的几何体中，四边形BB₁C₁C是矩形，BB₁⊥平面ABC，A₁B₁∥AB，AB=2A₁B₁ ， E是AC的中点．

(1)、求证：A₁E∥平面BB₁C₁C；

(2)、若AC=BC，AB=2BB₁ ，求二面角A﹣BA₁﹣E的余弦值．

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20. 已知右焦点为F₂（c，0）的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）过点（1， $\frac{3}{2}$ ），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点（ $\frac{1}{2}$ ，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣ $\frac{1 + a}{x}$ ，其中a∈R

(1)、设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；

(2)、若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范围．

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22. 在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2， $\frac{π}{2}$ ），B（2 $\sqrt{2}$ ， $\frac{π}{4}$ ）．

(1)、求经过O，A，B的圆C₁的极坐标方程；

(2)、以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C₂的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + a \cos θ \\ y = - 1 + a \sin θ \end{matrix}$ （θ是参数），若圆C₁与圆C₂外切，求实数a的值．

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23. 设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．

(1)、求不等式f（x）＞1解集；

(2)、若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．

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身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
频数	2	5	14	13	4	2

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
频数	1	7	12	6	3	1

Y X	y₁	y₂	总计
x₁	a	10	a+10
x₂	c	30	c+30
总计	60	40	100