2017年湖北省高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知复数 $z = \frac{5}{2 i - 1}$ （i为虚数单位），则z的共轭复数对应的点位于复平面的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合M={﹣1，0}，N=（y|y=1﹣cos $\frac{π}{2}$ x，x∈M），则集合M∩N的真子集的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{3} ， b = x^{3} ， c = \ln x$ ，当x＞2时，a，b，c的大小关系为（）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜b＜a D、c＜a＜b

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4. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| a | = 2 ， | b = \sqrt{3} |$ ，且 $\vec{b}$ ⊥（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 已知命题p： $x \in (0 ， \frac{π}{2}) ， \sin x - x < 0$ ，命题q： $x_{0} \in (0 ， + \infty) ， 2^{x_{0}} = \frac{1}{2}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、p∧q B、（￢p）∧（﹣q） C、p∧（￢q） D、（￢p）∧q

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6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、3π D、4π

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7. 斐波拉契数列0，1，1，2，3，5，8…是数学史上一个著名的数列，定义如下：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥2，n∈N）．某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图，那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是（）

A、c=a，i≤14 B、b=c，i≤14 C、c=a，i≤15 D、b=c，i≤15

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左，右焦点分别为F₁ ， F₂ ， O为坐标原点，圆O是以F₁F₂为直径的圆，直线 $l : \sqrt{2} x + \sqrt{3} y + t = 0$ 与圆O有公共点．则实数t的取值范围是（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ B、[﹣4，4] C、[﹣5，5] D、 $[- 5 \sqrt{2} ， 5 \sqrt{2}]$

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9. 已知函数f（x）是奇函数，且满足f（2﹣x）=f（x）（x∈R），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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10. 设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₂₀₁₇=4034，则 $\frac{1}{a_{9}} + \frac{9}{a_{2009}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、2 D、4

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11. 将函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在区间[a，b]（b＞a）上的值域是 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ ，则b﹣a的最小值m和最大值M分别为（）

A、 $m = \frac{π}{6} ， M = \frac{π}{3}$ B、 $m = \frac{π}{3} ， M = \frac{2 π}{3}$ C、 $m = \frac{4 π}{3} ， M = 2 π$ D、 $m = \frac{2 π}{3} ， M = \frac{4 π}{3}$

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12. 已知函数f（x）=（2x+1）e^r⁺¹+mx，若有且仅有两个整数使得f（x）≤0．则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{3}{2 e})$ B、 $(- \frac{3}{2 e} ， - \frac{5}{3 e^{2}})$ C、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{5}{3 e^{2}})$ D、 $(- 2 e ， - \frac{3}{2 e})$

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二、填空题

13. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（110，10²），已知P（100≤ξ≤110）=0.36，估计该班学生数学成绩在120分以上的有人．

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14. 若二项式 ${(a x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6} (a > 0)$ 展开式中的含x²的项的系数为60．则 $\int_{- 1}^{a} (x^{2} - 2 x) d x$ = ．

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15. 设变量x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ \begin{array}{l} x + 2 y - 2 \geq 0 \\ 3 x + y - 9 \leq 0 \end{array} \end{matrix}$ ．若z=a²x+y（a＞0）的最大值为 4．则 a= ．

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16. 已知数列{a_n}满足 $a_{1} = 1 ， | a_{n} - a_{n - 1} | = \frac{1}{2^{n}} (n \geq 2 ， n \in N)$ ，且{a_2n_﹣₁}是递减数列，{a_2n}是递增数列，则5﹣6a₁₀= ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \cos ω x \cdot \sin (ω x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \cos^{2} ω x - \frac{\sqrt{3}}{4} (ω > 0 ， x \in R)$ ，且函数y=f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 $\frac{π}{4}$ ．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）的对称柚方程；
（Ⅱ）在△ABC，中，角A，B，C的对边分別为a，b，c．若 $f (A) = \frac{\sqrt{3}}{4} ， \sin C = \frac{1}{3} ， a = \sqrt{3}$ ，求b的值．

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18.
为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员．从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]，并得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40）的人数；
（Ⅱ）在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为X，求X的分布列及数学期望．

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19.
如图1，已知矩形ABCD中， $A B = 2 ， B C = 2 \sqrt{3}$ ，点E是边BC上的点，且 $C E = \frac{1}{3} C B$ ，DE与AC相交于点H．现将△ACD沿AC折起，如图2，点D的位置记为D'，此时 $D^{'} E = \frac{\sqrt{30}}{3}$ ．

（Ⅰ）求证：D'H⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角H﹣D'E﹣A的余弦值．

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20. 已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ 的焦点F₁与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点重合，Γ的准线与x轴的交点为F₁ ，若Γ与C的交点为A，B，且点A到点F₁ ， F₂的距离之和为4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不过原点且斜率存在的直线l交椭圆C于点G，H，且△OGH的面积为1，线段GH的中点为P．在x轴上是否存在关于原点对称的两个定点M，N，使得直线PM，PN的斜率之积为定值？若存在，求出两定点M，N的坐标和定值的大小；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=mln（x+1）﹣nx在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，且 $f^{'} (2) = - \frac{1}{3}$ ，其中 m，n∈R．

（Ⅰ）求m，n的值，并求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=﹣x²+2x，确定非负实数a的取值范围，使不等式f（x）+x≥ag（x）在[0，+∞）上恒成立．

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22. 已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix} (t 为参数， 0 < α < \frac{π}{2})$ ，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos²θ+4cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ≤2π）．

（Ⅰ）当 $α = \frac{π}{3}$ 时，求直线l的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交A，B两点．求证： $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 是定值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣a|，若不等式f（x）≤3的解集为{|x|﹣1≤x≤5}．
（Ⅰ）求实数a的值：
（Ⅱ）若不等式f（3x）+f（x+3）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

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