2017年河南省许昌市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合A={x|x²﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤0}，则（∁_RA）∪B=（）

A、（﹣1，3） B、（2，3） C、（2，3] D、[﹣1，3]

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2. 欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式e^ix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，表示的复数e^﹣^iπ在复平面内位于
（）

A、第一象限 B、在实数轴上 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列命题正确的是（）

A、∃x₀∈R，sinx₀+cosx₀= $\frac{3}{2}$ B、∀x≥0且x∈R，2^x＞x² C、已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件 D、已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是 $\frac{a}{b}$ =﹣1

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4. 已知圆O：x²+y²=4（O为坐标原点）经过椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{8}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{4}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{32}$ + $\frac{y^{2}}{16}$ =1

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5. 已知等差数列{a_n}满足a₁=1，a_n₊₂﹣a_n=6，则a₁₁等于（）

A、31 B、32 C、61 D、62

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、3 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ $\sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{3}$ $\sqrt{3}$

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7. 已知函数f（x）= $\frac{2^{| x | + 1} + x^{3} + 2}{2^{| x |} + 1}$ 的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）

A、0 B、2 C、4 D、8

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8. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（）

A、14 B、7 C、1 D、0

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9. 已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax²+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）

A、12 B、8 C、0 D、4

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10. 已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足| $\vec{C M}$ |=1，则| $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O M}$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{7} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ ﹣1 D、 $\sqrt{7}$ ﹣1

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF₂分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF₁|=2|PF₂|，且∠MF₂N=120°，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2ⁿ﹣2，2ⁿ⁺¹﹣2]（n∈N^* ， n≥2），都有f（x）= $\frac{1}{2}$ f（ $\frac{x}{2}$ ﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log_ax有且只有三个零点，则a的取值范围是（）

A、[2，10] B、[ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ] C、（2，10） D、[2，10）

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二、填空题：

13. 已知实数x，y满足条件 ${\begin{matrix} x \geq 2 \\ x + y \leq 4 \\ - 2 x + y + m \geq 0 \end{matrix}$ 若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为．

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14. 设二项式 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项为a，则 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos \frac{a x}{5} d x$ 的值为．

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15. 已知A，B，C是球O的球面上三点，且 $A B = A C = 3 ， B C = 3 \sqrt{3} ， D$ 为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．

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16. 已知函数f_n（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ ，且f_n（﹣1）=（﹣1）ⁿn，n∈N^* ，设函数g（n）= ${\begin{matrix} a_{n} ， n 为奇数 \\ g (\frac{n}{2}) ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，若b_n=g（2ⁿ+4），n∈N^* ，则数列{b_n}的前n（n≥2）项和S_n等于．

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三、解答题：

17. 已知向量 $\vec{a}$ =（2cosx，sinx）， $\vec{b}$ =（cosx，2 $\sqrt{3}$ cosx），函数f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ﹣1．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB= $\frac{\sqrt{3} a c}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ ，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．

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18. 某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．
付款方式
分3期
分6期
分9期
分12期
频数
20
20
a
b

(1)、若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；

(2)、按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．

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19. 如图所示，已知长方体ABCD中， $A B = 2 A D = 2 \sqrt{2} ， M$ 为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．

(1)、求证：平面ADM⊥平面ABCM；

(2)、是否存在满足 $\vec{B E} = t \vec{B D} (0 < t < 1)$ 的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为 $\frac{π}{4}$ ．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．

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20. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{a x}{1 - x} (a \in R)$ ．

(1)、当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

(2)、若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \cos θ \\ y = 2 \sqrt{3} \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．

(1)、化曲线C₁ ， C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)、设曲线C₂与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C₂于A，B两点，求线段AB的长．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + x + \frac{1}{2}$ 的最小值为m．

(1)、求m的值；

(2)、若a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a³+b³+c³）≥ab+bc+ca﹣3abc．

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付款方式	分3期	分6期	分9期	分12期
频数	20	20	a	b