2017年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）

A、{2} B、{4，6} C、{1，3，5} D、{2，4，6}

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2. 已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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3. 若 $\cos (\frac{π}{2} - α) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则cos（π﹣2α）=（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $- \frac{2}{9}$ D、 $- \frac{5}{9}$

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4. 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上任选两个数x和y，则y＜sinx的概率为（）

A、 $\frac{2}{π^{2}}$ B、 $1 - \frac{4}{π^{2}}$ C、 $\frac{4}{π^{2}}$ D、 $1 - \frac{2}{π^{2}}$

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5. 将函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上的点 $P (\frac{π}{4} ， t)$ 向右平移m（m＞0）个单位长度得到点P'，若P'位于函数y=cos2x的图象上，则（）

A、 $t = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，m的最小值为 $\frac{π}{6}$ B、 $t = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，m的最小值为 $\frac{π}{12}$ C、 $t = - \frac{1}{2}$ ，m的最小值为 $\frac{π}{6}$ D、 $t = - \frac{1}{2}$ ，m的最小值为 $\frac{π}{12}$

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入m=4，t=3，则输出y=（）

A、183 B、62 C、61 D、184

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7. 在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（）

A、﹣110 B、﹣220 C、220 D、110

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8. 已知M是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）

A、45° B、30° C、15° D、60°

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9. 函数f（x）=|x|+ $\frac{a}{x^{2}}$ （其中a∈R）的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知P为矩形ABCD所在平面内一点，AB=4，AD=3， $P A = \sqrt{5} ， P C = 2 \sqrt{5}$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P D}$ =（）

A、﹣5 B、﹣5或0 C、0 D、5

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11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、1 D、2

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12. 已知函数f（x）=（2x²﹣x﹣1）e^x ，则方程 ${[e f (x)]}^{2} + t f (x) - 9 \sqrt{e} = 0$ （t∈R）的根的个数为（）

A、3 B、2 C、5 D、4

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二、填空题

13. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的一条渐进线与直线x﹣y+3=0平行，则此双曲线的离心率为．

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14. 若实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 1 \leq 0 \\ \begin{array}{l} x > 0 \\ y \leq 2 \end{array} \end{matrix}$ 则 $\frac{2 y}{2 x + 1}$ 的取值范围是．

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15. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米斛．

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16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1， $a = \sqrt{3}$ ，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足a_n=2S_n+1（n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n﹣1）•a_n ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；
（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X的分布列及数学期望．

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19. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CA=CB，侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA₁、A₁B₁上，且AE= $\frac{1}{2}$ ，A₁F= $\frac{3}{4}$ ，CE⊥EF．
（Ⅰ）证明：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC₁与平面CEF所成角的正弦值．

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20. 已知圆O：x²+y²=1过椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=2x+ax²+bcosx在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程为 $y = \frac{3 π}{4}$ ．

（Ⅰ）求a，b的值，并讨论f（x）在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的增减性；
（Ⅱ）若f（x₁）=f（x₂），且0＜x₁＜x₂＜π，求证： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ ．
（参考公式： $\cos θ - \cos ϕ = - 2 \sin \frac{θ + ϕ}{2} \sin \frac{θ - ϕ}{2}$ ）

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t \\ y = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）判断直线l与圆C的交点个数；
（Ⅱ）若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．

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23. 已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）．

（Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实根，求实数m的取值范围．

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