2017年广东省省际名校高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合A={x|x²﹣x﹣2＜0}，B={y|y=e^x ， x＜ln3}，则A∪B=（）

A、（﹣1，3） B、（﹣1，0） C、（0，2） D、（2，3）

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2. 设i为虚数单位，若复数 $\frac{i}{1 + i}$ 的实部为a，复数（1+i）²的虚部为b，则复数z=a﹣bi在复平面内的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且当x≤0时，f（x）= $\frac{1}{e^{x}}$ +k（k为常数），则f（ln5）的值为（）

A、4 B、﹣4 C、6 D、﹣6

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5. 某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写（）

A、i≤2015？ B、i≤2016？ C、i≤2017？ D、i≤2018？

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6. 下列命题，其中说法错误的是（）

A、双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点到其渐近线距离为 $\sqrt{3}$ B、若命题p：∃x∈R，使得sinx+cosx≥2，则￢p：∀x∈R，都有sinx+cosx＜2 C、若p∧q是假命题，则p、q都是假命题 D、设a，b是互不垂直的两条异面直线，则存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥α

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{7 π}{6}$ C、π D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知角α终边上一点的坐标为P（sin $\frac{π}{10}$ ，cos $\frac{9 π}{10}$ ），则角α是（）

A、 $\frac{π}{10}$ B、 $\frac{2 π}{5}$ C、﹣ $\frac{π}{10}$ D、﹣ $\frac{2 π}{5}$

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9. 若（2x+1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ的展开式中的各项系数和为243，则a₁+2a₂+…+na_n=（）

A、405 B、810 C、243 D、64

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10. 已知动直线l₀：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且Q（4，0）到动直线l₀的最大距离为3，则 $\frac{1}{2 a}$ + $\frac{2}{c}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、1 D、9

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11. 已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ =0，则二面角A﹣PB﹣C的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f′（x）+2f（x）= $\frac{\ln x + \frac{1}{2}}{e^{2 x}}$ ，且f（1）= $\frac{1}{4 e^{2}}$ ，则不等式f（lnx）＞f（3）的解集为（）

A、（﹣∞，e³） B、（0，e³） C、（1，e³） D、（e³ ， +∞）

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二、填空题：

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ |=2，且（ $\vec{a}$ +3 $\vec{b}$ ）⊥（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ），则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为．

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14. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，c= $\sqrt{3}$ ，当ab取得最大值时，S_△_ABC= ．

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15. 若直线ax﹣y﹣a+3=0将关于x，y的不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 y + 5 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \leq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z=4x﹣ay的最大值是．

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16. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的焦点分别为F₁ ， F₂ ， A为双曲线上的一点，且F₁F₂⊥AF₂ ，若直线AF₁与圆x²+y²= $\frac{a^{2} + b^{2}}{9}$ 相切，在双曲线的离心率为．

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三、解答题：

17. 已知递增数列{a_n}，a₁=2，其前n项和为S_n ，且满足3（S_n+S_n_﹣₁）= $a_{n}^{2}$ +2（n≥2）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{b_n}满足 $\log_{2} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ =n，求其前n项和T_n ．

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18. 如图在直角梯形BB₁C₁C中，∠CC₁B₁=90°，BB₁∥CC₁ ， CC₁=B₁C₁=2BB₁=2，D是CC₁的中点．四边形AA₁C₁C可以通过直角梯形BB₁C₁C以CC₁为轴旋转得到，且二面角B₁﹣CC₁﹣A为120°．

(1)、若点E是线段A₁B₁上的动点，求证：DE∥平面ABC；

(2)、求二面角B﹣AC﹣A₁的余弦值．

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19. 现有4名同学去参加校学生会活动，共有甲、乙两类活动可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪类活动，掷出点数为1或2的人去参加甲类活动，掷出点数大于2的人去参加乙类活动．

(1)、求这4个人中恰有2人去参加甲类活动的概率；

(2)、用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙两类活动的人数．记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁ ， F₂ ，设点F₁ ， F₂与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设A，B，P为椭圆C上三点，满足 $\vec{O P}$ = $\frac{3}{5}$ $\vec{O A}$ + $\frac{4}{5}$ $\vec{O B}$ ，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y=x+1与轨迹E交于M，N两点，求|MN|．

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21. 设f（x）=（lnx）ln（1﹣x）．

(1)、求函数y=f（x）的图象在（ $\frac{1}{2}$ ，f（ $\frac{1}{2}$ ））处的切线方程；

(2)、求函数y=f′（x）的零点．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ﹣4cosθ=0．

(1)、求直线l与曲线C的普通方程；

(2)、已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M（2，0），求| $\frac{1}{| M A |} - \frac{1}{| M B |}$ |的值．

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23. 设函数f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣a|，a∈R．

(1)、若不等式f（x）≤﹣5的解集非空，求实数a的取值范围；

(2)、若函数y=f（x）的图象关于点（﹣ $\frac{1}{2}$ ，0）对称，求实数a的值．

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