2017年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合M={x|x²﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2^x}，则M∩N=（）

A、（0，2] B、（0，2） C、[0，2] D、[2，+∞）

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2. 设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面中对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象过点（0， $\sqrt{3}$ ），则f（x）的图象的一个对称中心是（）

A、（﹣ $\frac{π}{3}$ ，0） B、（﹣ $\frac{π}{6}$ ，0） C、（ $\frac{π}{6}$ ，0） D、（ $\frac{π}{4}$ ，0）

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4. 设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）．命题q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）

A、p为假 B、￢q为真 C、p∨q为真 D、p∧q为假

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5. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）

A、6 斤 B、9 斤 C、9.5斤 D、12 斤

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6. 已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（1）=2，则不等式f（log₂x）＞2的解集为（）

A、（2，+∞） B、 $(0 ， \frac{1}{2}) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $(\sqrt{2} ， + \infty)$

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7. 执行如图的程序框图，若输出的结果是 $\frac{31}{32}$ ，则输入的a为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+ $\sqrt{2}$ π，则该几何体的体积为（）

A、4π B、2π C、 $\frac{11}{3}$ π D、3π

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9. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）

A、6种 B、24种 C、30种 D、36种

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10. 过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，则弦AB的长度为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} R$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3} R$ C、R D、 $\sqrt{6} R$

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11. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的右焦点F₂（c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为M，延长F₂M交抛物线y²=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若 $\vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O F_{2}} + \vec{O P})$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2} - 2}{7}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2} + 2}{7}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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12. 已知f（x）=|xe^x|，又g（x）=f²（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{e^{2} + 1}{e})$ B、 $(\frac{e^{2} + 1}{e} ， + \infty]$ C、 $(- \frac{e^{2} + 1}{e} ， - 2)$ D、 $(2 ， \frac{e^{2} + 1}{e})$

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二、填空题：

13. 如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为

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14. 已知 $a = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$ ，则二项式 ${(x + \frac{a}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项是．

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15. 若圆x²+y²﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，动点P（a，b）在不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x + m y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域内部及边界上运动，则 $z = \frac{b - 2}{a - 1}$ 的取值范围是．

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16. 已知数列{a_n}是各项均不为零的等差数列，S_n为其前n项和，且 $a_{n} = \sqrt{S_{2 n - 1}}$ （n∈N^*）．若不等式 $\frac{λ {(- 1)}^{n}}{a_{n}} \leq \frac{n + 2 {(- 1)}^{n + 1}}{n}$ 对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是．

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三、解答题：

17. 已知函f（x）=sin（2x﹣ $\frac{π}{6}$ ）﹣cos2x．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $f (\frac{B}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，b=1， $c = \sqrt{3}$ ，且a＞b，求角B和角C．

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18. 调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果：

种植地编号	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，0，1）	（1，2，1）
种植地编号	A₆	A₇	A₈	A₉	A₁₀
（x，y，z）	（1，1，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，2，1）	（1，1，1）

（Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率；

（Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X=A﹣B，求X的分布列及其数学期望．

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19.
如图1，在边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方形ABCD中，E、O分别为 AD、BC的中点，沿 EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如图2所示，点G 在BC上，BG=2GC，M、N分别为AB、EG中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面OBC；
（Ⅱ）求二面角 G﹣ME﹣B的余弦值．

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20. 设x，y∈R，向量 $\vec{i}, \vec{j}$ 分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量 $\vec{a} = (x + \sqrt{3}) \vec{i} + y \vec{j}$ ， $\vec{b} = (x - \sqrt{3}) \vec{i} + y \vec{j}$ ，且 $| \vec{a} | + | \vec{b} | = 4$ ．

（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A、B两点，试证：△OAB的面积为定值．

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21. 已知函数f（x）=x³﹣x+2 $\sqrt{x}$ ．

（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）令g（x）= $\frac{a x^{2} + a x}{f (x) - 2 \sqrt{x}}$ +lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证： $g (t) - g (s) > e + 2 - \frac{1}{e}$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \sqrt{5} \cos α \\ y = 2 \sin α \end{matrix}$ （α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2} : ρ^{2} + 4 ρ \cos θ - 2 ρ \sin θ + 4 = 0$ ．

（Ⅰ）写出曲线C₁ ， C₂的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C₁的左焦点且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线l交曲线C₂于A，B两点，求|AB|．

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23. 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．

（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6；
（Ⅱ）若对任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

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