2017年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-06 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合M={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，N={x|﹣2≤x≤2}，则M∩N=（）

A、[﹣2，﹣1] B、[﹣1，2] C、[﹣1，1] D、[1，2]

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2. 已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）

A、﹣3﹣4i B、﹣3+4i C、3﹣4i D、3+4i

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3. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₃+a₅+a₇=24，则S₉=（）

A、36 B、72 C、C144 D、288

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4. 已知某种商品的广告费支出x（单位；万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
m
70
根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为 $\hat{y}$ =6.5x+17.5，则表中m的值为（）

A、45 B、50 C、55 D、60

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5. 下列命题中，真命题为（）

A、∃x₀∈R，e $^{x_{0}}$ ≤0 B、∀x∈R，2^x＞x² C、已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是 $\frac{a}{b}$ =﹣1 D、已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件．

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6. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、（9+ $\sqrt{5}$ ）π B、（9+2 $\sqrt{5}$ ）π C、（10+ $\sqrt{5}$ ）π D、（10+2 $\sqrt{5}$ ）π

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7. 设变量x，y满足不等式组 ${\begin{matrix} x + y \geq 3 \\ x - y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 3 \end{matrix}$ ，则x²+y²的最小值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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8. 如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的”更相减损术“．执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0时，则输出的i=（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 已知圆C：（x﹣ $\sqrt{3}$ ）²+（y﹣1）²=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是（）

A、（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ） B、（ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ） C、（ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ） D、（ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ）

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10. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，如果x₁+x₂= $\frac{2 π}{3}$ ，则f（x₁）+f（x₂）=（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、0 D、﹣ $\frac{1}{2}$

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11. 已知F₁、F₂为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF₁与圆x²+y²=a²相切，且|PF₂|=|F₁F₂|，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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12. 设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）=x² ，在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（）

A、[2，+∞） B、（﹣∞，2] C、（﹣∞，2]∪[2，+∞） D、[﹣2，2]

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二、填空题

13. cos²165°﹣sin²15°= ．

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14. $\frac{{(x - 1)}^{6}}{x}$ 的展开式中，x²项的系数为．（用数字作答）

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15. 已知在三棱锥P﹣ABC中，V_P_﹣_ABC= $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，∠APC= $\frac{π}{4}$ ，∠BPC= $\frac{π}{3}$ ，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为．

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16. 已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且当n≥2时，有 $\frac{2 a_{n}}{a_{n} s_{n} - s_{n}^{2}}$ =1成立，则S₂₀₁₇= ．

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三、解答题

17. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{5} ， b = 2$ ，求△ABC的面积．

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18. 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，”延迟退休“已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
人数
4
5
8
5
3
年龄
[45，50）
[50，55）
[55，60）
[60，65）
[65，70）
人数
6
7
3
5
4
经调查年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；
（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

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19.
在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，点D为BC的中点；

（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）若点E为A₁C上的点，且满足 $\vec{A_{1} E}$ =m $\vec{E C}$ （m∈R），若二面角E﹣AD﹣C的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求实数m的值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）经过点（ $\sqrt{2}$ ，1），且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣ $\frac{1}{2}$ ，若动点P满足 $\vec{O P} = \vec{O M} + 2 \vec{O N}$ ，试探究，是否存在两个定点F₁ ， F₂ ，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？若存在，求F₁ ， F₂的坐标，若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{1 - x}{a x}$ +lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．

（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若b＞0，试说明 $\frac{1}{a + b}$ ＜ln $\frac{a + b}{b}$ ＜ $\frac{a}{b}$ ．

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22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{5} t + 2 \\ y = \frac{4}{5} t \end{matrix}$ （t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；
（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的 $\sqrt{3}$ 倍，求a的值．

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23. 已知函数f（x）= $\sqrt{| x + 1 | + | x - 3 | - m}$ 的定义域为R．

（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）若m的最大值为n，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2n﹣4．

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年龄	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）
人数	4	5	8	5	3
年龄	[45，50）	[50，55）	[55，60）	[60，65）	[65，70）
人数	6	7	3	5	4